--> Archiwum Forum
BeneQ junior [ gt: Adrianeo pl ]
Matematyka - geometria.
Witam mam problem z dwoma zadaniami czy mogl by ktos naprowadzic jak je rozwiazac?
1. Na okregu o promieniu dlugosci r opisano trapez prostokatny. Dlugosc najkrotszego z bokow trabezu wynosi piec czwartych "r".Oblicz pole trapezu.
2. Udowodnij ze jezeli w trapez rownoramienny mozna wpisac okrag to srednica tego okregu jest srednica geometryczna dlugosci podstaw tego trapezu.
BeneQ junior [ gt: Adrianeo pl ]
up
BeneQ junior [ gt: Adrianeo pl ]
up
CreaToN [ Generaďż˝ ]
1. Spróbuj wykorzystać fakt, że sumy długości przeciwległych boków są sobie równe. Najkrótszy bok tego trapezu, to krótsza podstawa.
DEXiu [ Generaďż˝ ]
Ad. 1
Zrób rysunek (trapez prostokątny i wpisany weń okrąg; tylko nie narysuj kwadratu bo z takiego rysunku nic nie odczytasz). Stwierdź który z boków trapezu jest najkrótszy (podpowiem że to będzie jedna z podstaw - dlaczego?). Dorysuj sobie:
- promień okręgu do punktu styczności okręgu z tą podstawą;
- odcinek łączący środek okręgu z końcem tej podstawy (ale nie tym końcem, przy którym jest kąt prosty z ramieniem trapezu)
- promień okręgu do punktu styczności z tym ramieniem (nie-prostopadłym do podstaw)
- odcinek łączący środek okręgu z drugim końcem tego nieprostopadłego ramienia
Teraz pomyśl co możesz stwierdzić o trójkącikach (prostokątnych) które powstały. W jednym możesz (z tw. Pitagorasa) wyliczyć długości boków. Inny będzie do niego przystający. Kolejny będzie podobny do tego "innego" w skali, którą również możesz wyznaczyć. No i jesteśmy w domu bo w tym momencie powinieneś znać długość nieprostopadłego ramienia. A ponieważ w ten trapez da się wpisać okrąg, to suma długości przeciwległych boków jest taka sama. Znamy długość nieprostopadłego ramienia, znamy długość drugiego ramienia (dlaczego?), znamy długość wysokości trapezu (dlaczego?) czyli możemy policzyć pole (suma długość ramion będzie równa sumie długości podstaw a tego właśnie potrzebowaliśmy do policzenia pola)
DEXiu [ Generaďż˝ ]
Ad. 2
Tu nawet rysunku nie potrzeba, ale nie zaszkodzi zrobić. Oznaczasz podstawy jako a i b, promień okręgu jako r (zatem długość średnicy wynosi 2r). Łączysz środek okręgu wpisanego z końcami jednego ramienia, z tw. Pitagorasa liczysz długość tych dorysowanych odcinków (a właściwie to kwadraty ich długości) wyrażone za pomocą a, b i r. Zauważasz, że między tymi dorysowanymi odcinkami jest kąt prosty (dlaczego?), więc można teraz wyliczyć długość ramienia (a raczej kwadrat długości). Teraz korzystasz z tego, że w trapez można wpisać okrąg czyli suma długości ramion (w tym przypadku - identycznych, bo trapez jest równoramienny) jest równa sumie długości podstaw. Wyliczasz kwadrat długości jednego ramienia (tzn. a+b/2 podniesione do kwadratu), przyrównujesz do tego co wyszło powyżej i wychodzi teza.