--> Archiwum Forum
Heretyk [ Generaďż˝ ]
Wyznacznik macierzy
Mam problem z wyliczaniem wyznacznika macierzy z definicji.
Jeśli będę mnożyć elementy macierzy tak jak na górnej macierzy (mnożę przez siebie pola o tym samym kolorze) to wychodzi mi wynik różny od zera natomiast jeśli dobiorę sobie elementy macierzy z jednej linii tak jak na drugim obrazku to wyjdzie mi wyznacznik równy zeru.
Jeśli dobrze pamiętam to dobór elementów mnożonych polegał jedynie na wybraniu elementów z różnych kolumn a wiersze odbijały się w wyniku jedynie znakiem wyniku (poprzez potęgowanie (-1) we wzorze do ilości inwersji w permutacji ciągu numerów wierszy).
Dlaczego więc zawsze uzyskuje wyniki tak skrajnie różne?
tomazzi [ Young Destroyers ]
Wyznacznik liczysz sumując iloczyn liczb po ukosie z lewej góry na dół prawo i odejmujesz sumę iloczynów liczb po ukosie z prawej góry na lewy dół.
A tej drugiej metody to ja nie rozumiem.
1 2 3
4 5 6 = 1*5*9+2*6*7+3*4*8-(3*5*7+2*4*9+1*6*8)
7 8 9
Mogę sie mylić bo dawno to robiłem.
garbi1337 [ Konsul ]
tomazzi -> metodę, którą zaprezentowałeś nazywa się regułą Sarrusa: i nadaje się ona tylko do obliczania macierzy 3x3.
Przy obliczaniu wyznacznika z definicji nie pomogę, ale polecam:
+
Heretyk [ Generaďż˝ ]
tomazzi --> Mówisz o liczeniu wyznacznika macierzy przy pomocy reguły Sarrusa, ale ona jest prawdziwa tylko dla macierzy trzeciego stopnia.
Ja liczę macierz z definicji.
[edit] Spóźniłem się
garbi1337 --> Leplacem mógłbym to policzyć, ale musiałbym policzyć wyznacznik z macierzy 4-tego stopnia a to sprowadza mnie znowu do pytania jak liczyć wyznacznik z definicji. A Gaussa wole nie stosować bo mój profesor tego nie pokazywał i mógłby się czepiać (choć wydaje się to absurdalne).
Heretyk [ Generaďż˝ ]
up
Zapruder [ Proud_Minority ]
Niebardzo rozumiem, czemu nie możesz z La Place'a policzyć : >
Dajmy na to masz macierz
2 0 0 0
3 -3 5 7
4 0 1 4
5 0 2 -2
I robimy LP względem 1 wiersza
det A = 2 (czyli to co zostało oprócz zer) * (-1)^(1+1) ((-1) do potęgi (numer wiersza + numer kolumny danego elementu)) * wyznacznik macierzy która została po skreśleniu 1 wiersza i 1 kolumny, czyli
-3 5 7
0 1 4
0 2 -2
I to już możesz policzyć z Sarusa, albo jechać dalej jak wyżej bo akurat w 1 kolumnie masz tylko 1 element niezerowy
czyli ostatecznie det A = 2 * (-1)^(1+1) * det [macierz pozostała po skreśleniu 1 wiersza i 1 kolumny] = 2 * Sarus pozostałej macierzy 3 stopnia
przy czym oczywiście te zera w macierzach które podałes trzeba uzyskać przez operacje elementarne, no ale to chyba wiadomo (z tego co widze najlepiej wyjść od 4 wiersza, wyzerowac jedną z tych (-1) przez odjęcie drugiej i juz masz pierwszy krok zrobiony :) )
Heretyk [ Generaďż˝ ]
Ale mi chodzi o to jak mnożyć podczas liczenia z definicji. Jak odpowiednio ułożę mnożenia to wychodzi mi, ze wyznacznik równa się zero a jak inaczej to, ze wyznacznik jest różny od zera. Na obrazku pokazałem jak mogę mnożyć zaznaczając tym samym kolorem te elementy, które mnożę przez siebie.
Zapruder [ Proud_Minority ]
A możesz podac o jakiej definicji mówisz (wzór itd.)? Bo szczerze mówiąc to aż otworzyłem książke pierwszy raz od wielu dni i nadal nie mam pojęcia o co ci chodzi :D
Heretyk [ Generaďż˝ ]
Tak trudno symbolami to napisać, więc napisze krokami.
Bierzesz elementy z różnych kolumn macierzy a następnie wypisujesz numery wierszy, w których są te elementy w rzędzie. Z rzędu liczysz inwersje, czyli momenty, w których następny element jest mniejszy bądź równy poprzedniemu.
Teraz mnożysz wszystkie wybrane elementy razy siebie i razy (-1)^n, gdzie n jest liczbą inwersji w ciągu wierszy.
Następnie wybierasz inne elementy z różnych kolumn i powtarzasz czynność aż "zużyjesz" wszystkie elementy macierzy.
Heretyk [ Generaďż˝ ]
Po "Tak" miał być przecinek.
Przy okazji up.