--> Archiwum Forum
lostman [ Pretorianin ]
Zadanie z matmy!!
Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p^2-1 jest liczbą podzielną przez 24.
Nie mam pojęcia jak to ugryźć. Pomóżcie
maviozo [ Man with a movie camera ]
Patrz, ja bym rozpisał to tak
(p^2-1)/24=1
p^2-1=24
p^2=25
p=5
I pasuje. Tylko to moje czyste przypuszczenie. Z matmą nie miałem do czynienia od matury:)
Moby7777 [ Generaďż˝ ]
Ja bym się za to zabrał od strony czynników pierwszych. 24 to 2^2 * 3^2. Dwójki widać gołym okiem:
Liczby pierwsze większe niż 3 muszą być nieparzyste. Stąd można je zapisać jako 2n+1. Tak więc wyrażenie p^2 - 1 = (2n+1)^1 - 1 = 4n^2 + 4n = 4n(n+1). Podzielność przez 4 udowodniona.
Gorzej jest z trójkami. Wiem, jak znaleźć jedną z nich ale nie mam jeszcze pomysłu na drugą. Pierwszą natomiast zrobimy tak: liczba pierwsza większa niż 3 musi przystawać do 1 lub -1 w modulo 3 (mam nadzieję, że miałeś już coś o tym). Po podniesieniu do kwadratu musi więc przystawać do 1 w mod3 a po odjęciu jedynki - 0(mod3). QED. Jak wymyślę jak wskazać jeszcze jedną trójkę to dopiszę. W międzyczasie może ktoś inny coś wymyśli.
maviozo --> Niby racja ale to tylko dla jednego przypadku. Tak samo musisz się jeszcze bawić ze wszystkimi pozostałymi pierwszymi. Mówiąc inaczej dowodzenie przez przykład nie jest dobrym pomysłem - chyba, że negujesz tezę.
maviozo [ Man with a movie camera ]
Wiem bo zacząłem od drugiej strony tego twierdzenia. Nie umiem w sposób prosty podać wzór na liczbę pierwszą.
Tak samo musisz się jeszcze bawić ze wszystkimi pozostałymi pierwszymi.
Z tego wzoru możesz wyciągnąć tylko jeden wynik?
Moby7777 [ Generaďż˝ ]
Pomyliłem się wyżej. Trójki już są. Teraz trzeba znaleźć jeszcze jedną jedynkę (24 to 2^3 *3 a nie, tak jak pisałem).
[edit] Już mam. Podzielność przez 8 (2^3) udowodnimy tak samo jak podzielność przez 4 w sumie. Skoro p jest nieparzyste to może my je zapisać jako 4n+1 albo 4n-1. Stąd p^2 będzie równe albo 16n^2 + 8n + 1 albo 16n^2 - 8n + 1. W obydwu przypadkach możemy po odjęciu jedynki możemy wyciągnąć przed nawias 8. Stąd wiemy, że p^2-1 musi być podzielne przez 8. Podzielność przez 3 już została udowodniona. Jeśli nie mieliście operacji modulo to podzielność przez 3 zrób tak, jak podzielność przez 8.
DEXiu [ Generaďż˝ ]
24 to 2^2 * 3^2
Que? :o 24=2^3 * 3
Trójkę i dwie dwójki już znalazłeś, ostatnia dwójka wynika z iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych (widocznych w zapisie 4n(n+1))
EDIT: Za późno :D Ale dobrze że sam zauważyłeś błąd ;)
Moby7777 [ Generaďż˝ ]
ostatnia dwójka wynika z iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych
Ech, zbyt łopatologiczny dzisiaj jestem i nie zauważyłem. No ale jest niedziela więc czuję się usprawiedliwiony :)