Wielomiany jednej zmiennej - zadanie

Burst [ Chor��y ]

Wielomiany jednej zmiennej - zadanie

Mógłby ktoś pomóc mi w rozwiązaniu tego zadania, bo za cholere nie moge dojść do prawidłowego wyniku.

Reszta dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 - 4x - 4 jest wielomianem R(x) = x^3 - 5x + 1. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian F(x) = x^2 - 4.

Xerces [ A.I. ]

Całość można zapisać w ten sposób:


W(x) = I(x) * (x^4 + x^3 - 3x^2 - 4x - 4) + x^3 - 5x + 1
W(x) = I'(x) * (x^2-4) + ax + b

Gdzie wielomiany I(x) i I'(x) są wynikiem dzielenia wielomianu W(x) kolejno przez (x^4 + x^3 - 3x^2 - 4x - 4) i (x^2-4), a (ax + b) jest szukaną resztą R(x), która musi być funkcją liniową, bowiem reszta z dzielenia wielomianów ma stopień nie większy niż wielomian przez który dzieliliśmy (w tym wypadku 2).
Kolejną rzeczą, którą trzeba zauważyć to fakt, że zarówno (x^2-4) jak i (x^4 + x^3 - 3x^2 - 4x - 4) zerują się da x=-2 i x=2. Można to po prostu "zauważyć" lub rozłożyć je na czynniki:

x^2-4=(x-2)(x+2)

x^4 + x^3 - 3x^2 - 4x - 4 = x^4 + x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x - 4 = x^2*(x^2+x+1) - 4(x^2+x+1) = (x^2-4)*(x^2+x+1) = (x-2)(x+2)(x^2+x+1)

Przyrównujemy więc obydwie strony i dostajemy związek:

I'(x)*(x^2-4) + ax + b = I(x) * (x^4 + x^3 - 3x^2 - 4x - 4) + x^3 - 5x + 1

wiemy, że równanie jest prawdziwe, jeżeli jest prawdziwe dla każdego x, a więc podstawiając wyżej x=-2 mamy:

I'(-2)*0 - 2a + b = I(-2)* 0 + (-2)^3 - 5*(-2) + 1
- 2a + b = (-2)^3 - 5*(-2) + 1

a podstawiając x=2 dostajemy:

I'(2)*0 + 2a + b = I(2)*0 + 2^3 - 5*2 + 1
2a + b = 2^3 - 5*2 + 1

z tych dwóch równań wyliczamy, że a=-1 i b=1, czyli szukana reszta to R(x) = -x+1

Może być gdzieś błąd, ponieważ właśnie się obudziłem.