Rachunek Prawdopodobieństwa

Loczek [ El Loco Boracho ]

Rachunek Prawdopodobieństwa

Witam,

czy jest ktoś kto zna dosyć dobrze rachunek prawdopodobieństwa? Jeśli tak to może mi wytłumaczyć, tak dosyć na "chłopski rozum" na czym polega rozkład Poissona i jak sie go liczy?

Przykładowe zadanie z wykorzystaniem tego rozkładu:

Prawdopodobieństwo złego oprawienia książki wynosi 0,0001. Jakie jest prawdopodobieństwo że w nakładzie 10 000 książek, 5 będzie źle oprawionych.

Z góry zaznaczam, że nie chodzi mi o rozwiązanie tego zadania schematem Bernoulliego gdyż wyjdą kosmiczne liczby :P


Z góry dziękuje

Xerces [ A.I. ]

Jeśli zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem L, to zdarzenie, że X=k można odczytać: jakie jest prawdopodobieństwo, że "jakieś" zdarzenie zajdzie dokładnie k razy w jakimś przedziale czasowym t, jeśli intensywność tego zdarzenia wynosi L (czyli zachodzi średnio L razy w przedziale czasowym t).

Przykład: siedzisz na drodze i liczysz liczbę przejeżdżających tirów w ciągu godziny. Wiesz, że średnio na godzinę przejeżdża ich 20 (i to jest nasza intensywność L). Zmienna o rozkładzie Poissona jako wartości dla kolejnych liczb 0,1,2,3.... zwraca prawd. że w ciągu godziny przejadą dokładnie 0,1,2,3... tiry. Tutaj mogą powstać pewne wątpliwości. Bo intensywność L jest liczbą. Co to znaczy, że intensywność wynosi np. 10? Tak naprawdę ta liczba jest oderwana od rzeczywistości i nas to nie obchodzi, bo prawd. że przejedzie 5 tirów w ciągu godziny, gdzie intensywność wynosi 10 na godzinę, jest takie samo, że przejdzie ich 5 na dobę, jeśli intensywność wynosi 10 na dobę. Tak samo jak liczysz pole kwadratu to nie obchodzi Cie w pewnym momencie czy bok jest wyrażony w cm, dm, czy km.

Weźmy teraz np. zmienna o rozkładzie dwumianowym B. Czas jest z założenia ciągły. Spróbujmy go nieco usztywnić. Gdybyś podzielił tarcze zegara na 12 części (12 pięciominutówek) i w każdej części może przejechać najwyżej jeden tir, to prawdopodobieństwo, że tak sie stanie wynosi (intensywność na cala godzinę)/(liczbę części na która podzieliliśmy naszą godzinę) czyli 10/12 = 5/6.
Faktycznie jeśli mamy 12 prób, gdzie prawd. sukcesu wynosi 5/6 to wartość oczekiwana wynosi 10. Jeśli naszą godzinę podzielimy na 24 części to wtedy, biorąc pod uwagę naszą oczekiwaną średnia 10 na godzinę, prawd. że w danej 1/24 części godziny przejedzie tir wynosi 5/12.
Jeśli podzielimy na 1000 części to wtedy 1/100

Co to pokazuje? Ano to, że naszą zmienną Poissona można interpretować jako graniczną zmienną ciągu zmiennych o rozkładach dwumianowych, gdy liczba prób (części na które dzielimy godzinę) dąży do nieskończoności.

I stad twierdzenie, że jeśli mamy ciąg zmiennych o rozkładzie dwumianowym i n dąży do nieskończoności, ale p dąży jednocześnie do 0, a ich iloczyn n*p=L>0 to granicą tego ciągu jest zmienna o rozkładzie Poissona i parametrze L.

Z Teorii Granic wiadomo, że wyrazy ciągu są dowolnie blisko granicy (nie będziemy się tu rozwodzili, co to znaczy w tym przypadku "blisko") jeżeli tylko n jest dostatecznie duże. Inaczej mówiąc jeśli liczność próby n jest duża, to zmienną o rozkładzie dwumianowym B. można przybliżyć zmienną o rozkładzie Poissona z parametrem L=n*p gdzie p to prawd. sukcesu.

Jeśli w Twoim zadaniu jako "sukces" przyjmiemy zdarzenie, że książka jest źle oprawiona to wtedy nasz parametr L będzie wynosił 10000*0,0001=1.

Teraz liczysz wartość zmiennej Poissona dla k=5 (jeśli chodzi o "dokładnie 5 książek źle oprawionych") lub dla k=0,1,2,3,4,5 i sumujesz wyniki (jeśli chodzi o "najwyżej 5 książek źle oprawionych").