rachunek prawdopodobieństwa

grabcia2006 [ Centurion ]

może ktos sie skusi?

29.01.2008

23:24

[4]

eLJot [ a.k.a. księgowa ]

Rozwiązujesz prosty układ równań
| o+r=1000
| o-r>=100
oraz
| o+r=1000
| r-o>=100

Z I mamy o<=450 i r>=550, a z II analogicznie r<=450 i r>=550

Skoro o,r należą do zbioru <0,1000> mamy zarówno z I jak i z II 451 przypadków

czuyli P=(451*2)/1000=902/1000

Nadbor [ Pretorianin ]

Zgodnie z powyższym rozumowaniem prawdopodobieństwo, że będzie 1000 orłów wynosi 1/1000

techi [ Kami ]

Tego przypadkiem nie trzeba policzyć z tw. Bernoulliego?

grabcia2006 [ Centurion ]

z Bernoulliego - za dużo liczenia

Xerces [ A.I. ]

grabcia2006 -> Próba jest wystarczająco duża, aby skorzystać z Centralnego Twierdzenia Granicznego.
Zmienną B, która ma rozkład dwumianowy (z parametrami n,p, gdzie n to liczność próby, a p to prawdopodobieństwo sukcesu) można interpretować jako sumę n zmiennych z rozkładem dwupunktowym (z parametrem p, który jest równy parametrowi p zmiennej B).
Te zmienne w tym przypadku można oznaczyć za pomocą X1, X2,...,X1000 i każda z nich może przyjąć wartość 1 (z prawd. 1/2) lub 0 ( z prawd. 1/2 ). Zakładamy, że X1=1, kiedy w pierwszym rzucie wypadła reszka, a X1=0, kiedy w pierwszym rzucie wypadł orzeł itp. analogicznie dla pozostałych 999 zmiennych Xi.
Zmienną B można zapisać jako:

B = X1+X2+...+X1000

Interesuje nas prawdopodobieństwo że wartość B przyjmie wartość z przedziału [0 ; 450] u [550 ; 1000]
Korzystając z CTG wiemy, że zmienna B ma rozkład normalny (istotnie prawdopodobieństwo, że wypadnie 500 orłów jest większe, niż prawd. że wypadnie ich 450, 300, 900. Generalnie im większe odchylenie od tego idealnego podziału 500 na 500, tym mniejsze prawdopodobieństwo że tak się stanie).

Teraz standaryzujemy naszą zmienną B. Do tego potrzebna jest wartość oczekiwana E(B) i odchylenie standardowe S(B) (notacja nie do końca poprawna, ale to forum nie pozwala na nic innego).

Wiemy że E(Xi)=1/2 (możesz policzyć)
i S^2(Xi)=1/4 (możesz policzyć)

E(B) = E(X1+X2+...+X1000)=E(X1)+E(X2)+...+E(X1000) = 1/2 + 1/2 + ... + 1/2 = 1000*1/2=500
S^2(B) = S^2(X1+X2+...+X1000)=S^2(X1)+S^2(X2)+...+S^2(X1000)=1/4 + 1/4 + ... + 1/4 = 1000/4 = 250
S(B)=5*sqrt(10)

I teraz

P(B=>550) + P(B<=450) =
= P(B - 500 => 50) + P(B - 500 <= -50) =
= P((B - 500)/5*sqrt10 => 50/5*sqrt10 ) + P((B - 500)/5*sqrt10 <= -50/5*sqrt10) =
= P((B - 500)/5*sqrt10 => sqrt10 ) + P((B - 500)/5*sqrt10 <= -sqrt10) =
= P((B - 500)/5*sqrt10 => sqrt10 ) + P((B - 500)/5*sqrt10<=-sqrt10) = 1 - I(sqrt10) + I(-sqrt10)

gdzie I jest dystrybuantą standardowej zmiennej normalnej, stablicowaną w prawie każdej książce od statystyki.