Logika - równoliczność

mac2000 [ Pretorianin ]

Logika - równoliczność

czy zbiory (0,2) i (0,2> są równoliczne?

windows00 [ Legionista ]

Tak.
Zbiory różniące się o skończoną liczbę elementów są policzalne.

Tutaj dowód:

1) z definicji równoliczności zbiorów
|(0,2)| = |(0,2>| <=> istnieje funkcja od jednego do drugiego zbioru, która jest bijekcją (różnowartościowa i "na").

f: (0,2> -> (0,2)

f(x)= (w klamerce poniższe trzy linijki)
1 dla x=2
1/(x+1) dla x= 1/n , n należy do naturalnych dodatnich
x dla pozostałych

Ta funkcja jest różnowartościowa i "na".

2) z tw. Cantora-Bernsteina

zapis: a <= b oznacza: a jest mniejszy lub równy b

Jeśli |A| <= |B| i |B| <= |A|, to |A| = |B|

(0,2> jest zawarty w R, czyli |(0,2>| <= |R|
(0,2) jest zawarty w (0,2), czyli |(0,2)| <= |(0,2>|
Ponadto każdy przedział otwarty jest równoliczny z R, czyli |(0,2)| = |R|, więc:

|R| = |(0,2)| <= |(0,2>| <= |R|, z tego wnioskujemy, że wszędzie tam muszą być równości (bo oczywiście |R| = |R|), czyli ostatecznie:
|(0,2)| = |(0,2>|, czyli (0,2) ~ (0,2>


Jeśli coś jest niejasne, daj znać :)