--> Archiwum Forum
Sage [ Konsul ]
Udowodnienie wzoru
Jak to udowodnić?
Jeżeli w wielokąt o obwodzie d wpisany jest okrąg o promieniu r, to pole wielokąta można obliczyć z następującego wzoru: P = (d*r)/2
Z góry dzięki.
Sage [ Konsul ]
Może jednak ma ktoś pomysł?
Mazzop [ ]
mamy n-kąt, od środka okręgu do każdego boku poprowadź promień, z każdego wierzchołka wielokąta, środka okręgu i 2 punktów powstałych przez przecięcia promienia i boków wychodzących z tego wierzchołka otrzymujemy czworokąt (deltoid, wystarczy zauważyć symetrię), którego pole łatwo obliczyć (2 pola pewnego trójkąta prostokątnego), suma takich n deltoidów pole całego wielokąta i da się je wyrazić poprzez obwód.
DEXiu [ Generaďż˝ ]
Nie do końca zrozumiałem o co chodziło Mazzopowi, ale jeśli to to co myślę to można nieco prościej:
Połącz środek okręgu ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta - powstanie n trójkątów, gdzie n to ilość boków wielokąta. Teraz narysuj promienie okręgu do punktów styczności z bokami - są to wysokości naszych trójkątów. Zapisz pole każdego trójkąta i wyraź pole całego wielokąta jako sumę pól wszystkich trójkątów. Koniec.
Mazzop [ ]
DEXiu -> racja, przejrzyściej, łatwiej i w ogóle naturalniej na to wpaść, no ale jak ja po przeczytaniu pole/obwód startowałem w myślach od wzoru Herona to nie mogło z tego wyniknąć nic dobrego :P, ale żeby nie było, tamto też jest poprawnie, z tym że udziwnione przeliczenie obwodu (połowy obwodu) wielokąta wyjdzie.