Algebra. Grupy. Przejście z jednej def do drugiej

SPMKSJ [ Konsul ]

eLJot----> tak, na tym etapie jestem :)
Ale żeby przejść z jednej definicji do drugiej, trzeba jeszcze udowodnić poźniej, że dla każdego elementu należącego do G istnieje dokładnie jeden element do niego odwrotny.

Wtedy to będzie całe przejście z jednej definicji do drugiej

dzięki , że się odezwałeś, bo nie umię przez to przebrnąć ;/

SPMKSJ [ Konsul ]

czyli do twojego zdania na koncu jeszcze dopisać

01.12.2007

18:15

[5]

SPMKSJ [ Konsul ]

elJot --> i jak, masz coś dla mnie :-) ??

SPMKSJ [ Konsul ]

up

SPMKSJ [ Konsul ]

Nie wiem ,czy mój tok rozumowania jest dobry, ale zrobiłem coś takiego. Prosiłbym, jeśli ktoś potrafi, o sprawdzenie, czy jest to poprawne

03.12.2007

10:34

[8]

SPMKSJ [ Konsul ]

Zrobiłem drugą część dowodu (istnienie el. odwrotnego, dla każdego el a należącego do G) załączam obrazek i ponawiam prośbę o sprawdzenie mojego rozumowania, bo nie ufam sobie :)

Offtopic. Dla urozmaicenia wątku, w którym tylko ja się udzielam.

Wczoraj widziałem Shreka trzeciego. Pinokio okazał się być wyśmienitym logikiem, cytat z wersji polskiej, poniżej zamieszczam :-)


Książę: Gdzie jest shrek ?

Pinokio: No więc nie wiem, gdzie go nie ma


Książę: Próbujesz wmówić mi, że nie wiesz gdzie jest shrek ?

Pinokio:Nie byłbym do końca szczery twierdząc, że nie mogę z całą mocą zaprzeczyć, że potwierdzenie jest lub nie jest prawdziwe


Książę:A zatem wiesz gdzie jest ?

Pinokio: Nie w każdym sensie, powiedzmy, że mogę z umiarkowaną stanowczością zaprzeczyć twierdzeniu, że w taki ,czy inny sposób zatajam informację o faktach bezsprzecznie wskazujących na miejsce w którym on jest albo go nie ma, chyba że nie byłby tam gdzie go nie ma. Bo Gdybym twierdził, że nie ma go tam gdzie jest, nie mógłbym zaprzeczyć, że ....

Jeśli kto usłyszał końcówkę, może dopisać :)

Xerces [ A.I. ]

Na forum już nie pisuje od dawna, czasami wpadam aby tylko przejrzeć wątki, ale na te męki nie mogę patrzeć ;).

Od początku:

----------co zrobiłem----------
dla każdego a należącego do G istnieją x,y należące do G takie,że:
a*x=a i y*a=a

Pytanie mam takie, jak udowodnić, że x == y ?

A nawet jeśli się to uda, to co to da?
Wtedy udowodnisz twierdzenie: "Dla dowolnego elementu a ze zbioru G istnieje taki element e, że e*a=a i e*e=a ", tyle, że to nie jest definicja elementu neutralnego. Prawdziwa definicja brzmi: "Istnieje taki element e należący do zbioru G, że dla dowolnego elementu a ze zboru G zachodzi a*e=a i e*a=a"
W tych dwóch twierdzeniach zamieniona jest kolejność kwantyfikatorów (podstawy logiki się kłaniają), którymi nie można dowolnie manipulować.
Przykładowo z faktu, że w każdej dziewczynie jest zakochany jakiś chłopak, nie wynika że istnieje dziewczyna, w której kocha się każdy chłopak (ale w drugą stronę implikacja już zachodzi!)
A Ty właśnie usilnie starasz się zamienić kolejność.
Co z tego, że dla dowolnego a, mogę znaleźć jakieś e, jeżeli dla każdego elementu to e może być inne?
Tu chodzi o to, aby dla każdego było takie samo, więc na początku musi być mały kwantyfikator, a dopiero potem duży.
Zapis zastosowany przez eLJot (pomijając błędy syntaktyczne), także jest zły, ponieważ formalizuje błędną definicję, jaką podałeś.

Załóżmy jednak że chcesz udowodnić, że x=y (tego czepiam się na marginesie, bo masz kilka istotnych błędów w rozumowaniu)

post 7, trzecia linijka od dołu. Skąd wziąłeś te równoważność? Skracanie? Błąd. Co to jest skracanie obustronne w algebrze (nawet na poziomie szkolnym, gdzie rozwiązuje się równania)? To pomnożenie (lub dodanie w notacji addytywnej) obustronne przez jakiś element - jeżeli chcemy skrócić a, to tak naprawdę mnożymy obydwie strony równania przez a^-1. Jest tylko jeden problem - taki element musi istnieć. Tu dopiero udowadniasz, że G jest grupą, a więc nie wiesz czy każdy (a w szczególności element a) ma element odwrotny, a więc nie możesz pomnożyć obustronnie przez a^-1 (bo co to niby jest?), czyli skrócić.
W szkole zazwyczaj operuje się na ciałach (a więc w szczególności na grupach) więc tam już z założenia istnieją wszelkie elementy przeciwne i odwrotne, więc można przy rozwiązywaniu równań wszystko sobie skreślać (oprócz dzielenia obustronnego przez 0, bo to tak naprawdę pomnożenie obustronne przez element odwrotny do 0, a takiego elementu z samej definicji ciała nie ma).
Jest nawet w algebrze takie zadanko: Udowodnić, że jeżeli G jest grupą to z faktu, że x*a=y*a wynika x=y.

Ostatnia linijka od dołu
To samo.

Poprawne rozwiązanie:
Dobrze zauważyłeś, że dla każdego a, b należącego do G istnieje x, y takie, że a*x = a.
Udowodnimy, że x jest prawostronnym elementem neutralnym, tzn. własność c*x=c zachodzi dla dowolnego elementu c ze zbioru G. Weźmy więc dowolny element c ze zbioru G. Wiemy, że istnieje taki x' w zbiorze G, że x'*a=c. Jeżeli pomnożymy równość a*x = a lewostronnie przez x' to dostaniemy
x'*(a*x)=x'*a <=> (x'*a)*x=x'*a <=> c*x=c, a więc x jest prawostronnym elementem neutralnym. Oznaczmy go przez e.p.

Teraz wiemy (jak zauważyłeś), że dla ustalonego b istnieje taki y, że y*b=b.
Udowodnimy, że y jest lewostronnym elementem neutralnym, tzn. dla dowolnego elementu c ze zbioru G zachodzi własność y*c=c. Weźmy więc dowolny element c ze zbioru G. Wiemy, że istnieje taki y' w zbiorze G, że b*y'=c. Jeżeli pomnożymy równość y*b = b prawostronnie przez y' to dostaniemy
(y*b)*y'=b*y' <=> y*(b*y')=b*y' <=> y*c=c, a więc y jest lewostronnym elementem neutralnym. Oznaczmy go przez e.l.

Teraz udowodnimy, że e.l=e.p

Rozpatrzmy iloczyn e.l*e.p
Z jednej strony e.l*e.p=e.l, a drugiej e.l*e.p=e.p, a więc e.l=e.p i jest to element neutralny działania, który możemy oznaczyć ostatecznie jako e.

Teraz element odwrotny. W Twoim rozwiązaniu faktycznie wystarczy pokazać, że x=y. Tyle, że w ostatniej linijce robisz coś niedozwolonego - znowu skracasz. Można to udowodnić prościej:
Wiemy, że ya=e i , że ax=e

ax=e mnożymy lewostronne przez y i mamy
y(ax)=ye
(ya)x=y
ex=y
x=y

Koniec zadania

Aby udowodnić, że definicje są równoważne, trzeba jeszcze pokazać, że z "pierwszej wynika ta druga". Nie wiem czy to musisz robić, ale "przejście z jednej definicji do drugiej" to zazwyczaj udowodnienie równoważności, a nie implikacji.

Xerces [ A.I. ]

Pośpiech.

Dwie poprawki:

Wtedy udowodnisz twierdzenie: "Dla dowolnego elementu a ze zbioru G istnieje taki element e, że e*a=a i e*e=a "

Powinno być: a*e=a

nie wynika że istnieje dziewczyna, w której kocha się każdy chłopak

Powinno być: nie wynika, że istnieje chłopak, który kocha się w każdej dziewczynie.

SPMKSJ [ Konsul ]

Xerces ----> Przede wszystkim wielkie dzięki, że chciało Ci się na to zajrzeć, bardzo mi pomogłeś. Cały Twój dowód oczywiście jest dobry.

Co do moich błędów mnożenie przez element odwrotny, specjalnie tego nie pisałem, bo wiedziałem że go nie ma, tylko intuicyjnie napisałem taką równoważność. To był właśnie powód, dla którego umieściłem to na forum ,żeby mi ktoś pomógł.

Co do błędu o zamianie kwantyfikatorów, faktycznie dałem dużą plamę :/ No cóż..tak bywa

SPMKSJ [ Konsul ]

Co do przejścia z jednej definicji do drugiej w sensie matematycznym ,to dowód równoważności . Ja odpowiadałem na posta elJota i w sensie potocznym napisałem 'przejście z jednej definicji (czyli tej drugiej) do tej pierwszej.

Dowód w drugą stronę zrobiłem sam i założyłem, że tam nie ma błędów, ponieważ wydawał się być banalny.