--> Archiwum Forum
Dark Templar [ Pretorianin ]
Matma - zadanko z podobieństwa
Nie mogę sobie poradzić z poniższym zadankiem:
Wysokość trójkąta prostokątnego ABC, poprowadzona z wierzchołka kąta prostego,
dzieli ten trójkąt na trójkąty o obwodach 2p i 2q. Znaleźć obwód trójkąta ABC.
Ma ktoś jakiś pomysł jak się do tego zabrać?
Dark Templar [ Pretorianin ]
Up :D
Fisz3k [ Pretorianin ]
2p + 2q = ? :<
Jo nie wia.
david_fc [ Generaďż˝ ]
p+q-r
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
Mam nadzieję, że się połapiesz ->
david_fc [ Generaďż˝ ]
PAW666THESATAN - nie chciałbym wywoływać jakiejś wojny matematycznej ale nie mogę się z Tobą zgodzić co do wyniku i rozwiązania:)
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
David -> a czym u Ciebie jest r ?
david_fc [ Generaďż˝ ]
PAW666THESATAN -> u Ciebie błędne jest założenie że AB=AC
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
No, ale korzystając z podobieństwa:
AD jest podobne do AB i AD jest podobne do AC, więc
AD/AB = AD/AC
czyż nie ?
Może się mylę, bo dawno miałem takie rzeczy ;] teraz gustuje w całkach itp. ;]
david_fc [ Generaďż˝ ]
To jest niestety błędne założenie możliwe tylko wtedy, gdy trójkąt jest równoramienny ale i tak brawo za rozwiązanie bo nieźle to rozpisałeś:)
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
David - aha... no innego pomysłu za bardzo nie miałem. To może powiedz co to jest r w Twoim rozwiązaniu i jak do niego doszedłeś ?
david_fc [ Generaďż˝ ]
r w tym wypadku to tak jak u Ciebie AD tylko inaczej sobie oznaczyłem no ale w końcu nie ważne są oznaczenia tylko końcowy efekt:)
Dark Templar [ Pretorianin ]
PAW666THESATAN >>> wielkie dzięki za pomoc!
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
Dark Templar -> faktycznie moje rozwiązanie może być nie dokońca prawidłowe. Przeanalizuj może jeszcze raz to co ja nabazgrałem, weź pod uwagę to, co mówi David i jakoś dojdź do odpowiedniego rozwiązania :)
/// No chyba, że jednak ja mam rację, ale po głębszych przemyśleniach wcale nie koniecznie :)
David -> jak oznaczymy sobie dodatkowo AD jako r, to rozwiązanie pojawia się na samym początku:
Ob ABC = 2q + 2p - 2AD = 2q + 2p - 2r = 2 ( q + p - r )
david_fc [ Generaďż˝ ]
PAW666THESATAN -> nie chce tu się chwalić albo w jakikolwiek sposób podważać Twojej wiedzy ale w tym wypadku jestem na 100% przekonany że to rozwiązanie jest nieprawidłowe:)
i to jest właśnie rozwiązanie według mnie:D
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
David -> no jeżeli dopuszczalne jest wprowadzenie nowej zmiennej, która nie była dana to oczywiście, ale ja założyłem, że w odpowiedzi powinny się znaleźć tylko literki p i q, odpowiedzialne za obwody trójkątów, które były dane na początku...
david_fc [ Generaďż˝ ]
PAW666THESATAN -> też tak zakładałem ale niestety bez wprowadzenia zmiennej ,,r'' nie da się rozwiązać tego zadania
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
David - aaaa widzisz, a ja zrobiłem :P No w sumie fakt, że dla jednego przypadku... Jeżeli jest dopuszczalne wprowadzenie nowej zmiennej, to rozwiązanie oczywiście jest banalne i bardzo szybko je możemy uzyskać, zależy na jakim poziomie znajduje się Dark Templar. Nie wiem czy potrzebne mu to do szkoły, czy robi zadania z matematyki dla zabawy, być może i chodzi o rozwiązanie 2(p+q-r), ale być może nie, tego nie wiedziałem, więc się rozpisałem. No, ale mniejsza już o to, sądzę że wspólnymi siłami (:>) pomogliśmy DT i to się liczy :)
david_fc [ Generaďż˝ ]
PAW666THESATAN -> oczywiście że najważniejsza jest pomóc:) Wydaje mi się że to zadanie do szkoły jest mu potrzebne i rozwiązanie w postaci 2(p+q-r) powinno w zupełności wystarczyć:D
Dark Templar [ Pretorianin ]
Opcja z "r" nie wchodzi w grę, ponieważ tak jak pisze PAW666THESATAN mogę użyć tylko p i q w odpowiedzi.
Mimo wszystko wydaje mi się, że rozwiązanie PAW666THESATAN jest prawidłowe. Wg mnie prawidłowo udowodnił, że trójkąty mają takie same boki (AD/AB=AD/AC). Jedyne do czego miałbym wątpliwości to usunięcie "2" sprzed p i q pod koniec zadania.
EDIT: Klasa maturalna - nie jest więc tak łatwo :D
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
Dark Templar -> wszystko jest "na obrazku".
2q=2p, więc q=p :)
david_fc [ Generaďż˝ ]
A ja mimo wszystko się z wami nie zgodzę:)
jestem pewien swojej tezy którą wcześniej udowodniłem a matma to dla mnie chleb powszedni:DD
zresztą p może być równe q tylko w jednym szczególnym przypadku i wtedy to zadanie nie miałoby sensu
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
David -> a może jednak właśnie o to chodzi ? W końcu to zadanie z podobieństwa...
eLJot [ a.k.a. księgowa ]
david_fc - Weź te swoje rozwiązanie i wsadź wiesz gdzie...
Równie dobrze mogę powiedzieć, że rozwiązaniem jest O
PAW - masz błędną proporcję z podobieństwa, powinno być:
AB-AD-BD
AC-CD-AB
BC-AC-AD
david_fc [ Generaďż˝ ]
PAW666THESATAN -> ale w zadaniu nie ma napisane że AB=AC więc nie można sobie przyjąć konkretnego przypadku
david_fc [ Generaďż˝ ]
eLJot -> z tym jak najbardziej się zgodzę
chyba niepotrzebnie kłóciłem się że masz błędne założenie zamiast napisać prawidłowe i skończyć tą kłótnie:D
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
eLJot -> ja bym się upierał, że jednak mam dobrze ->
David -> No nie mam napisane, przecież to "wyprowadziłem", porównując odpowiednie boki trójkątów.
david_fc [ Generaďż˝ ]
PAW666THESATAN -> AC nie zawsze jest równe CD i jak już wcześniej wspomniałem eLJot ma rację
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
Najlepiej jakby ktoś kto umie doskonale geometrię rzucił na to zadanie świeżym okiem i rozwiązał od początku do końca podając swoje rozwiązanie.
david_fc [ Generaďż˝ ]
niech najlepiej eLJoT to zrobi bo jak ja opisze to pewnie nikt nie zrozumie:))
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
Te proporcje co napisał eLJot wg mnie są złe... patrzyłem kilkanaście razy na rysunek i się upieram przy swoim. Najlepiej niech sobie każdy kto to czyta narysuje i sprawdzi ;]
David -> to narysuj w paincie :)
Ja tymczasem znikam, później wpadnę zobaczyć do czego doszliście... no i dobrze by było jakby Dark Templar dorzucił swoje 3 grosze, bo skoro zdaje mature to co nieco powinien wiedzieć :>
Dark Templar [ Pretorianin ]
PAW666THESATAN --> mówisz, masz :D wynik PAW'a wygląda całkiem zgrabnie, ale coś mi nie pasuje w proporcjach - nie odnoszą się one do odpowiednich boków trójkątów podobnych.
W zdaniu myślałem nad zastosowaniem faktu, że 2p/2q=k oraz, że h^2=x*y. Niestety nie wiem co z tym zrobić, żeby wysokość zapisać za pomocą p i q :/
david_fc [ Generaďż˝ ]
Niestety nie mam teraz czasu, ale jeśli nikt tego nie zrobi to załączę painta jutro zaraz jak wrócę ze szkoły
eLJot [ a.k.a. księgowa ]
Wszystko świetnie, ale układając proporcję wziąłeś sobie boki z dwóch trójkątów, a tego nie możesz zrobić, bo wychodzi Ci błędnie, że jest to trójkąt równoramienny.
Takie proporcje mamy:
Z trójkąta ACD
CD/AB=AC/BC=AD/AC=S1 - jakiś współczynnik
Z trójkąta ABD
AD/AB=AB/BC/BD/AC=S2 - inny współczynnik (w szczególnym przypadku mógłby być rywny S1)
Błędne jest więc Twoje założenie, że
AD/AB=AD/AC
Dark Templar [ Pretorianin ]
A masz może eLJot jakąś koncepcję jak to zrobić? Wystarczy podpowiedź z jakiej własności mam skorzystać, z resztą sobie (mam nadzieję) poradzę :D
david_fc [ Generaďż˝ ]
kąt ACD= kąt DAB
kąt ADB= kąt ADC
kąt DAC= kąt ABD
i masz podobieństwo
Dark Templar [ Pretorianin ]
Wiem, że te trójkąty są podobne, ale jak to potem wykorzystać, żeby wysokość przekształcić na równanie z p i q?
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
Ja tam już nie wiem w takim razie.
Dark Templar jak będziesz wiedział jak to zrobić to napisz ;] zapytaj się babki/faceta od matmy i podaj rozwiązanie :P
DEXiu [ Generaďż˝ ]
O matko :o Naprawdę nie chciałbym uchodzić za zarozumiałego wszechwiedzącego buca, ale...
PAW666THESATAN
AD/AB = AD/AC
czyż nie ?
Nie
Poprawnie:
AD/AB = CD/AC
bo z Twoich wywodów wychodzi, że każdy trójkąt prostokątny jest równoramienny.
Może się mylę, bo dawno miałem takie rzeczy ;] teraz gustuje w całkach itp. ;]
No nie przesadzaj. Przed wakacjami to nie tak dawno. A teraz bądź tak dobry i odłóż podręcznik do analizy wyższej i wróć do II części "Matematyki dla szkół średnich", bo rok szkolny się zaczął :/ (OK, sorry. Wybacz sarkazm. Z ciekawości tylko zapytam - na jakim jesteś kierunku że całki przerabiasz a z geometrią nie za bardzo?)
ROZWIĄZANIE:
Nie chce mi się rysować i wrzucać obrazka, więc przyjmujemy oznaczenia:
A, B, C - wierzchołki trójkąta prostokątnego (A - wierzchołek kąta prostego)
AD - wysokość (D leży na BC)
|BC|=a
|CA|=b
|AB|=c (tzw. standardowe oznaczenie boków)
|CD|=x
|BD|=y
|AD|=h
Obw(CDA)=2p
Obw(ABD)=2q
Wiemy już (a przynajmniej mam taką nadzieję), że trójkąty CDA i ABD są do siebie podobne a skalą podobieństwa jest stosunek ich obwodów wynoszący p/q (dwójki skróciliśmy). Zatem
x/h=p/q, skąd x=ph/q (*)
No ale trójkąt CDA jest prostokątny (to chyba jasne?), więc z tw. Pitagorasa
x^2+h^2=b^2
czyli na mocy (*)
(hp/q)^2+h^2=b^2
h^2*(1+(p/q)^2)=b^2
(b/h)^2=(p^2+q^2)/(q^2)
Obie strony są dodatnie (jako długości odcinków lub ich sumy/ilorazy) więc pierwiastkujemy obustronnie otrzymując:
b/h=(sqrt(p^2+q^2))/q (**)
No ale zauważmy, że trójkąt ABC i ABC również są podobne (na mocy cechy podobieństwa kąt-kąt: BAC i ADB są proste, a ABC jest wspólny), a ich skala podobieństwa wynosi właśnie tyle, co b/h. Zatem obwód ABC będzie wynosił
(b/h)*Obw(ABD)=(b/h)*2q
I na mocy (**) otrzymujemy:
Obw(ABC)=2sqrt(p^2+q^2)
Dziękuję za uwagę :)
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
DEXiu -> Mechatronika na Politechnice Warszawskiej ;] Geometrię jakąś tam miałem w 1 semestrze, a w drugim nie za bardzo ;] Przed wakacjami to ja właśnie walczyłem z całkami podwójnymi i potrójnymi i równaniami różniczkowymi, co mnie teraz znowu czeka, bo wygrać mi się nie udało ;] Już wiem, że źle rozwiązałem to zadanie, tak tak, przyznaję się bez bicia, ale chciałem w jakiś tam sposób pomóc. No mniejsza, dobrze, że Ty zrobiłeś dobrze ;]