Matma - fantazja

15.08.2007

02:40

[3]

Loon [ Panicz ]

2(a + a/2) = x

eee, to jest zle, rano to rozkminie ;)

Regis [ ]

Chyba nie rozumiem pytania :D

W jaki sposob 'przybywaja szczeble'? W jakis magiczny sposob? One sa uwzglednione w tym x czy nie? Jesli nie, to pokonujemy 2x - 1 szczebli.

Dla x=2: pokonujemy oba i wyrasta nam jeszcze jeden, wiec pokonujemy 3
Dla x=3: pokonujemy 2, wyrasta nam czwarty, pokonujemy 3 i 4, wyrasta 5, ostatni
itd.

Ale czy to o to chodzi - nie mam pojecia, bo zwyczajnie nie jestem pewien, czy rozumiem o co Ci biega ;P

You tube my space. [ Konsul ]

Przy założeniu, że "z" to liczba szczebli:

z = x + x/2

Stestujmy:

2 szczeble + 1 magiczny = 3

2 + 2/2 = 3

20 szczebli + 10 magicznych = 30

20 + 20/2 = 30

Chyba :P

eLJot [ a.k.a. księgowa ]

You tube my space ---> Przykro mi ale nie :(

Gdy pokonasz 20 szczebli, to pojawi się 10 nowych.Kiedy będziesz je pokonywał, to pojawi się 5 kolejnych :)

eLJot [ a.k.a. księgowa ]

Brak edita :(

Wydaje się, że jest to ciąg geometryczny o ilorazie q=1/2

x+x/2+x/4+x/8+... póki te x/(2^n) jest większe od 1

CreaToN [ Generaďż˝ ]

Hm eLJot podsunął mi pomysł...

początkowa liczba szczebli - x
to na przykładzie eLJot
x - 20
1/2x - 10
1/4x - 5
itd...
Jest to szereg geometryczny, dla którego iloraz |q| < 1 (q = 1/2).

Podstawiając do wzoru na sumę

S = x / (1- 1/2) = 2x

A więc do pokonania mamy 2x szczebli.


Edit: No właśnie.. też mi się wydaje, że to q= 1/2 :)

15.08.2007

10:34

[9]

eLJot [ a.k.a. księgowa ]

CreaToN - 2x to niestety zła odpowiedź

Np. dla 3 szczebli mamy:
Pokonujesz 2, pojawia się jeden magiczy, zostają 2.
Pokonujesz te 2 i teraz mamy niejasność - albo już jesteś na dachu, albo pojawia się kolejny i dopiero po nim jesteś na dachu.
Tak czy owak mamy 4 lub 5 stopni do pokonania, a to nie jest 2 x

P.S. Pisząc ten post na coś wpadłem :) Ilość szczebli pozostałych do pokonania policzyć można też w ten sposób:
x - 2 + 1 - 2 + 1 - 2 + 1 - 2 ... póki to wyrażenie jest większe od zera

I wychodzi, że jest to 2x-1

edit: Sprawdzone doświadczalnie :)

CreaToN [ Generaďż˝ ]

Sprawdziłem ten wzór 2x -1 i wychodzi na to, że jest dobrze ;)

a1 = 1
a2 = 3 (ze dwóch szczebli robią się 3 itd.)
a3 = 5
itd.. r = 2

Teraz indukcja matematyczna i wychodzi, że różnica między k i (k+1) równa się 2.

Sprawdzając moje to
a1 = 2
i tu jest błąd, bo wynika, że zaczynaliśmy od drugiego szczebla, co jest błędne.

Więc chyba 2x -1 jest jak dotąd poprawne. :)
Tylko nie wiem jak matematycznie do tego doszedłeś :) Chyba, ze 2x to granica tego szeregu, a tej granicy nigdy nie osiągamy...

15.08.2007

11:08

[11]

_bubba_ [ Evil Genius ]

przeczytalem tytul 'mama - fantazja' i juz liczylem, ze alpha i omega ma jakies edypowskie problemy, zawidolem sie....

cotton_eye_joe [ maniaq ]

ok niewazne. juz widze, gdzie sie walnalem.

przeczytalem tytul 'mama - fantazja' i juz liczylem, ze alpha i omega ma jakies edypowskie problemy, zawidolem sie....

a wiesz, ze podobno glodnemu chleb na mysli? :|

alpha_omega [ Senator ]

Regis -----------> O to właśnie biega. Masz drabinę i x szczebli, za każde dwa szczeble pojawia się na końcu jeden nowy. Przebiegasz x szczebli i zakładając, że x było parzyste masz jeszcze przed sobą x/2 szczebli, przebiegasz te x/2 i o ile było parzyste masz jeszcze x/4 itd. Dla tysiąca:

1000->500->250->124(1)*->62->32**->16->8->4->2->1

I rzeczywiście jest to 2x-1. Tylko pytanie jak udowodnić, że zawsze będzie to 2x-1. Indukcyjnie? A jeśli przyjmiemy, że mamy to udowodnić inaczej, niż indukcyjnie? Da się?

*Jeden odkładamy niejako na później, ażeby mieć parzystą ilość przebiegniętych.
** Teraz wykorzystujemy ten jeden odłożony

alpha_omega [ Senator ]

Jest tutaj zresztą pewna metoda. Dzielimy x na sumę potęg dwójki (ewentualnie z dodatkową jednostką jeśli liczba jest nieparzysta). Np. dla x=10: 8+2. I teraz robimy tak:

8+4+2+1 + 2+1

oddzielamy jedynki:

8+4+2+2=16

przedstawiamy sumę jedynek jako sumę potęg 2:

2, a więc mamy 2+1=3

16+3=19

Może jakoś rozumując poprzez tego typu operację można wyprowadzić zręczny wzór?

eLJot ---------------> Ciekawy sposób.

graf_0 [ Nożownik ]

To nie jest zadanie na dowodzenie prawdziwości wzoru - tutaj trzeba opisać zadanie matematycznie, fakt iż ignorujemy ułamkowe części szczebla nieco komplikuje sprawę.

Ale pomyślimy

alpha_omega [ Senator ]

graf_0 -----------> To właśnie całkowicie komplikuje sprawę - inaczej problem by się sprowadzał do wyjątkowo prostej granicy ciągu, która zawsze byłaby dwukrotnością x.

graf_0 [ Nożownik ]

Heh - udało się, zaraz jakoś wkleję odpowiedź.

Proszę bardzo
f(n) = n + n%2 + f([n/2])

gdzie
% to reszta z dzielenia(nie pamiętam czy to matematycznie poprawny symbol)
[] - część całkowita z danego wyrażenia(to jest na pewno prawidłowy symbol)

trzeba by jeszcze jakość ten wzór zakończyć po tym jak dojdzie do zera, ale na razie wystarczy

alpha_omega [ Senator ]

graf_0 --------------> O ile zdążyłem zauważyć to wszystko się zgadza, ale to jest właśnie opisanie problemu - wiem, że to umożliwia rozwiązanie każdego takiego zadania, jednak nie o to chodzi, nie chodzi o ujęcie problemu tak, ażeby można było zastosować teorie funkcji i problem rozwiązać, bo właściwie sprowadza się to (takie podejście) do przedstawienia matematycznie operacji numerycznych jakie na zdrowy rozum wykonujemy licząc tego typu problem dla zadanego x. Ja potrafię stworzyć funkcję rekurencyjną np. w C++, która będzie takie zadanka dla dowolnego całkowitego x liczyć, ale nie o to chodzi.

Wiemy, że zachodzi wzór 2x-1 (a przynajmniej tak się nam wydaje) - jak dowieść prawdziwości tego wzoru; lepiej - jak go wyprowadzić przy użyciu elementarnej arytmetyki i algebry; lub - jeśli ten nie jest prawidłowy - jak wyprowadzić ogólny wzór tej zależności wyniku od x.

Vader [ Legend ]

Nie ma tu czego udowadniać. Jak jest zadanie: Do każdej znalezionej złotówki, tata dorzuca Ci jedną złotówkę. Masz wzór: z=2x.
Z - ilość kasy jaka masz,
x ilosc znalezionych monet.
Nie ma czego udowadniać. Wiadomo, że bez względu na to ile znajdę, zawsze drugie tyle dostane od ojca.

W takich sytuacjach, trzeba jednak wyznaczyć dziedzinę. Wiadomo, że nie można znaleźć ujemnej ilości monet, zakładamy też, że nie znajdziemy połowy monety.
D = x c N.
Nie mamy żadnych ułamków, żadnych reszt, wiemy, że dla podanej dziedziny każda ilość spełnia to równanie!
Tak ja to widzę. Moim zdaniem trochę przekombinowaliscie.

alpha_omega [ Senator ]

Vader -----------> A jednak wzór to 2x-1, a nie 2x, przynajmniej tak wychodzi we wszystkich przypadkach jakie sprawdziłem. A więc zawsze masz o jedną monetę mniej, niż dwukrotność tego co znalazłeś. Choć może ja już odlatuję :) Przecież według Twojego podejścia nie możesz mieć na końcu nieparzystej liczby monet, ale z drabiną o nieparzystej ilości szczebli możesz zacząć. To nie takie proste, niedokładnie odwróciłeś problem.

Vader [ Legend ]

Nieeee. Czemu tak? Do każdej znalezionej dostajesz kolejną.
Znajdujesz 1 - dostajesz 1
Znajdujesz 2 - dostajesz 2. Do każdej jednej dostajesz monete, wiec zawsze dostaniesz tyle ile masz, no nie :)?

15.08.2007

20:05

[22]

DEXiu [ Generaďż˝ ]

Vader ==> Tylko że to zadanko się troszkę różni. Bo tutaj liczymy nie tylko "znalezione monety" (mówiąc językiem Twojego przykładu), ale też te które dostaniemy ;) Przy Twoich danych byłoby z tego małe midasowe perpetuum mobile, ale gdyby np. tata dawał 50 gr to Twoje zadanie byłoby identyczne :P
Zaraz sobie coś zjem, pomyślę chwilę i napiszę co wymyśliłem :D

Vader [ Legend ]

Dex no tak. Oczywiscie. Ale dalej, nawet dla takiego przypadku - bez względu ile znajde, zawsze dostanę jakąś konkretną ilość monet od ojca. Słowem: nie ma takiej liczby naturalnej, dla której byłoby to sprzeczne, ponieważ dziedzina takiej funkcji to cały zbiór liczb naturalnych, a ich jest nieskonczenie wiele :)

alpha_omega [ Senator ]

Vader ---------->

Inaczej:

Przyjrzyj się temu - liczby oznaczają ilość przebiegniętych szczebli, po '->' mamy wartość tego co zyskujemy z przebiegniętych w poprzednim ogniwie szczebli, to co jest w nawiasie, to szczeble jakich nie przebiegamy, odsuwamy je niejako na koniec, to nasze szczeble na później (bo nie mają chwilowo pary, a ułamków nie możemy uzyskać). Dla 1000:

1000->500->250->124(1)->62(1)->32->16->8->4->2->1

Łącznie 1999. A więc 2x1000-1.

Vader [ Legend ]

No dobra. Ale chcesz udowodnić, że tak jest. Aby sprawdzić, czy to równanie jest prawdą, trzeba poszukać takich liczb, dla których to prawdą nie będzie.

Mając równanie: z=2x-1 i podstawiając za x (n+1) z założeniem, że n c N - ‹0), zawsze dostaniesz jakąś wartość. Mnie chodzi o to, że nie rozumiem co chcecie udowodnić.:))

eLJot [ a.k.a. księgowa ]

Powiem wam, że siedzę nad tym wzorem i za cholerę nie potrafie wykombinować jak go udowodnić :)

edit:
Vader ---> Trzeba udowodnić, że ten wzór jest rozwiązaniem zadania, a nie to, że jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej!

Vader [ Legend ]

Teraz już zupełnie nie rozumiem.

Jeżeli jest zadanie: Dziadek ma 2-1 monet, ile monet ma dziadek?
Odpowiedz: Dziadek ma 1 monete.

Jak udowodnić, że 1 jest rozwiązaniem tego zadania? ja się poddaję!

15.08.2007

20:23

[28]

eLJot [ a.k.a. księgowa ]

Mamy drabinę, w niej szczeble, na dach możemy wejść z ostatniego szczebla drabiny. Szczebli jest 'x'. Wchodzimy po drabinie i co każde dwa szczeble pojawia nam się jeden dodatkowy*. Jak wyprowadzić wzór na to, ile szczebli będziemy musieli pokonać przy zadanym x, aby wejść na dach

Weź mnie nie denerwuj!

Rozwiązanie 2x-1 podałem ja, jednak bez jakiegokolwiek dowodu.
Możesz mi pokazać, że jeżeli drabina będzie miała 100 tys. szczebli, to ten wzór sie sprawdzi?

CreaToN [ Generaďż˝ ]

Vader -> udowodnieniem w Twoim przypadku jest zwykłe odejmowanie 2 - 1 = 1...

A teraz jak doszliśmy do wzoru 2x - 1?
I tu chodzi o konkretne matematyczne przekształcenia, które dają nam to rozwiązanie, a nie chybił trafił i jest wzór :)

alpha -> można, ale to jest tylko udowodnienie wzoru.. pytanie jak go otrzymać :)

alpha_omega [ Senator ]

Vader ------------> Pisałem już, że pewnie można to udowodnić przez indukcję. Ale jak inaczej.

Vader [ Legend ]

Creaton: Ale skąd przekształcenia? :) Ten wzór został stworzony w celu opisania pewnego wydarzenia.

Widzę, że się wzajemnie nie rozumiemy. Olać. Dajcie cynk, jak znajdziecie odpowiedź.

CreaToN [ Generaďż˝ ]

No właśnie został stworzony, ale jak? Nie rozumiem jak eLJot otrzymał ten wzór, który wydaje się być poprawny (z indukcji wynika, że jest).

alpha_omega [ Senator ]

CreaToN ------------> Ja wiem, że takie jest pytanie. Sam je postawiłem. Ciekawi mnie jak dowieść wzoru na taką zależność bez posługiwania się indukcją, co właściwie jest tym samym, bo jeśli go jakoś wyprowadzimy, to tym samym udowodnimy jego prawdziwość. Co ciekawe pierwsza myśl jaka pojawiła mi się w głowie po wyobrażeniu takiej drabiny, to że wynik będzie 2x, bądź 2x-1. A teraz nie wiem skąd takie błyskawiczne oszacowanie - umknęła myśl i nie mogę na to wpaść.

15.08.2007

20:38

[34]

DEXiu [ Generaďż˝ ]

Vader ==> Z całym szacunkiem dla Ciebie - pójdziesz do liceum, poduczysz się trochę i będziesz rozumiał o co nam chodzi ;)
alpha_omega ==> Hmm. A tak w sumie to czemu nie indukcją? :) Dowód jak każdy inny. Dużo prostsze niż wyprowadzanie tego wzoru na chama.

alpha_omega [ Senator ]

DEXiu -----------------> A tak dla zasady. Można zrozumieć ten wzór poprzez indukcję (i tak rozumując go wyprowadzić, bo indukcję trzba traktować nie tylko jako narzędzie dowodu, ale i formę myśli; podobnie jak np. spójnik wtedy i tylko wtedy - kto rozumie, że jest to implikacja w dwie strony i to nie jako powiedzenie sobie czegoś, ale po prostu jako złączenie form myśli jakie kryją się za implikacją? mało kto, bo szkoła uczy płytkiego rozumowania, schematów), ale rozumując poprzez indukcję nie widzi się jakoś całej tej zależności, lecz widzi się tyle, że z prawdziwości tego wzoru dla danego x, wynika prawdziwość dla x+1 itd. Jakoś to nie to samo, co widzieć kompletnie wyabstrahowaną z kontekstu zależność.

Mazzop [ ]

n-ilość szczebli
f(n)-ile szczebli musimy pokonać
rekurencja f(n)=f(n-1)+2 -> proste, bo +1 z dołożonego i +1 dlatego, że przy n-1 został ostatni "nieparzysty", więc siłą rzeczy dodając jeden trzeba będzie dodać drugi. no i z funkcji tworzącej wyjdzie jawnie f(n)=2n-1, chyba, mi jakoś nie chce nic wyjść :)

eLJot [ a.k.a. księgowa ]

Łatwizna :P
Wystarczy znaleźć punkt przecięcia się tych dwóch wykresów: (patrz obrazek)
y=x (niebieski) - przedstawia naszą "podróż" po drabinie
y= S+[x/2] (różowy) - przedstawia "wielkość" drabiny, gdzie S to początkowa ilość szczebli
Jak widać istnieją 2 punkty wspólne 2x-1 i 2x :D
Wydaje mi się, że korzystając z definicji części całkowitej [x]<=x<[x]+1 można udowodnić prawdziwość tego wzoru :)

P.S.
alpha_omega -->Po to właśnie jest indukcja :) Szukamy wzoru - nieważne jakim sposobem - i go udowadniamy. Tylko wg mnie w tym wypadku indukcją nic nie wykażemy - bo jak pokazać, że dla n+1 wzór też jest prawdziwy?

edit:
Mazzop - zapisałeś tylko funkcją mój post [9], ale wciąż nie wiadomo skąd ten -1 :D

DEXiu [ Generaďż˝ ]

eLJot ==> Yyy... Jesteś pewien że ta Twoja Excelowa metoda jest dobra? Bo nie wiem czemu mamy szukać tego przecięcia i czemu tam jest S+[x/2] :/
A indukcją tutaj akurat idzie przyjemnie i "łopatologicznie". Sprawdzamy, że wzorek 2x+1 działa dla 1, a potem stwierdzamy, że dla każdego początkowego x, końcowo otrzymamy nieparzystą ilość szczebli (równą 2x-1 a to bez wątpienia jest nieparzyste ;) ), więc jeśli dołożymy jeszcze jeden szczebel do początkowych (będzie x+1) to z końcowego 2x-1 zrobi się 2x a to jest parzyste - zatem "wyczaruje się" jeszcze jeden szczebelek i będzie 2x+1 - a to chcieliśmy pokazać w kroku indukcyjnym :)

15.08.2007

21:14

[39]

eLJot [ a.k.a. księgowa ]

Dla mnie to jest koniec zadania:

Rozwiązaniem zadania jest punkt przecięcia się tych 2 wykresów - jako że są dwa, wybieramy minimum ( już będziemy na dachu, nie musimy iść wyżej ;P )

Rzeczywiście korzystając z definicji części całkowitej dojdziemy do 2 nierówności
2S <= x < 2S-2
Jako, że szukamy rozwiązań tylko naturalnych, istnieją tylko 2 takie rozwiązania (co widać na rysunku) x = 2S oraz x= 2s -1. Biorąc z tego minimum mamy 2S-1

c.b.d.o. :D

eLJot [ a.k.a. księgowa ]

DEXiu ---> S+ [x/2] to ilość szczebli jaką musimy pokonać. S to ilość szczebli na początku. Skoro co drugi szczebel przybywa nowy, możemy to zapisać jako [x/2] - dla kolejnych x będziemy mieli:
...x ...| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
-------|---|---|---|---|---|---|---|---|---
[x/2] | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5

Po 2 stopniach przybywa 1, po 4 - 2 , itd. czyli zgodnie z treścią zadania :)

Natomiast nie przekonałeś mnie tą indukcją - jeżeli do wzoru 2x-1 zamiast x podstawimy x+1, to mamy:
2(x+1)-1=2x+2-1=2x+1 - a to bez wątpienia jest nieparzyste ;)

kamyk_samuraj [ Senator ]

Vader -> twoje zadanie byloby analogiczne do zadania alphy, gdyby za kazde uzyskane 2 zlotowki (niezaleznie, czy znalezione, czy otrzymane) ojciec dawal jedna.
Tak wiec chlopak znalazl cztery. Ojciec daje mu dwie i jeszcze dodatkowo jedna.

I jest to zadanie na indukcje matematyczna.

15.08.2007

22:01

[42]

Vader [ Legend ]

Dexiu --> Dziękuję za radę, mam nadzieję, że w LO znajdę odpowiedzi na swoje pytania :)