Do parających się matematyką :)

06.04.2007

16:31

[1]

alpha_omega [ Senator ]

Do parających się matematyką :)

Kilka pytań - prosiłbym o dogłębne, wyczerpujące odpowiedzi.

Jak się powinno czytać książki matematyczne tzn. np. czy to normalne, że czasami zrozumienie strony zajmuje dużo czasu? Jeśli tak to w jakich granicach czasowych (średnio, przy bardziej skomplikowanych zagadnieniach)? Może jakieś przykłady z własnego doświadczenia w nauce poszczególnych działów.

Czy wyobrażacie sobie czym np. jest pierwiastek? Czy w ogóle rozumujecie obrazowo (wizualne przedstawienia) czy raczej językowo tzn. może macie tak, że po pewnej praktyce w rozwiązywaniu zadań według schematów zaczynacie jakoś odczuwać symbole matematyczne i ich powiązania, tak jak to powiedział pewien matematyk: uczcie się uczcie, zrozumienie przyjdzie potem.

Jak się odnosicie w stosunku do aksjomatów tzn. czy nie zastanawia Was czasem np. to dlaczego mnożenie jest przemienne? U mnie takie zastanawianie się spowodowało, że wszystko wydaje mi się podejrzane. Jakkolwiek sobie nie przetłumaczę tego aksjomatu zawsze wydaje mi się czymś niedotykalnym, odległym.

Czy widząc bardziej skomplikowany wzór, dostrzegacie powiązania jego elementów, aż do najniższego poziomu? Tzn. czy powinno się rozumować tak, że pojęcie wyższego rzędu (złożone z pojęć niższego rzędu) bierze się za samodzielną konstrukcję i nią się myśli; czy też każdorazowo trzeba zmierzać do dna, do pojęć niższego rzędu i zawsze poprzez nie rozumieć pojęcia rzędu wyższego.

Czy kiedy już sobie coś wytłumaczycie rozważacie to później ponownie, czy przyjmujecie za pewnik i niejako mechanicznie wykorzystujecie w dalszym myśleniu?

Czy to prawda, że najlepszym sposobem nauki matematyki jest rozwiązywanie jak największej ilości zadań chociażby z początku według schematów?

Ogólnie - chwila zastanowienia - jakie wrażenia i myśli angażuje u Was myślenie matematyczne, jak przebiega, jak moglibyście to dogłębnie opisać.

06.04.2007

17:06

[2]

alpha_omega [ Senator ]

Zeus1990 [ Konsul ]

alpha_omega ---> każdy ma swoje upośledzenia :D ja na przykład choć znam wynik jakiegoś działania to i tak przeliczam bo nie jestem pewny albo jak coś mnoże potęguje itp. chociaż wiem że tak moge to i tak nie jestem pewny i podstawiam jakieś liczby żeby sprawdzić.

GROM Giwera [ One Shot ]

Alpha omega - może super matematykiem nie jestem, tylko studiuje na polibudzie śląskiej ale:

Nie czytam książek matematycznych. Czytam za to moje/cudze notatki z wykładów przed egzaminem :-) Wtedy czytając czasem mam drugą kartkę z boku badając jak z jednego czegoś powstało drugie coś.. bo nie pamiętam i muszę sam dojść do tego. Niektóre rzeczy są oczywiste (po pewnej praktyce), nad niektórymi trzeba posiedzieć.

Wyobrażanie sobie 'czym jest pierwiastek' ? Trochę dziwnie :) Tzn. chyba chodzi Ci o działanie - pierwiastkowanie, a nie pierwiastek jako rozwiązanie.. Ja osobiście sobie nie wyobrażam czym jest pierwiastek. Nie zastanawiam się. Po prostu jest to dla mnie coś naturalnego jak 2+2.

Co do aksjomatów, np. przemienności mnożenia (czy też dodawaniu, działania z liczbami parzystymi/nieparzystymi, odejmowanie i wiele wiele innych..), zastanawiałem się nad nimi. Dla mnie są one na tyle logiczne i oczywiste (po 'przemysleniach') że nie widzę nic podejrzanego. Nie rozumiem skąd może się brać u Ciebie podejrzanie :).

Patrząc na skomplikowany wzór/działania - zależy. W większości nie schodzę do 'niższego poziomu' bowiem matematyka - jest trochę schematycznym przedmiotem, nie ma sensu schodzenia niżej skoro WIESZ, WIDZISZ, ROZUMIESZ na 'wyższym' poziomie. Matematyka uczy abstrakcyjnego myślenia, szczególnie wyższa.

Jeżeli sobie coś raz wytłumaczę, przyjmuję to za pewnik (jeżeli cię dobrze zrozumiałem..).

Jak już mówiłem, myślenie matematyczne ma dużo związanego z myśleniem na poziomie abstrakcji :) Czasem trzeba wyjść 'poza schemat' aby do czegoś dojść, zauważyć pewną zależność pozornie dziwną. Zrobić coś nieschematycznego... jednak jak się później okazuje, te wyjście 'poza schemat' stanie się z czasem Twoim kolejnym schematem wraz z narastającym poziomem kolejnych problemów..

ronn [ moralizator ]

To o czym piszesz, to zagadnienie z algebry. Możesz poczytać tutaj :

Badanie własności działań w całkowitym oderwaniu od rodzaju obiektów, na których są one określone, stanowi dalszy etap w rozwoju algebry. Klasyfikacja zbiorów ze względu na własności określonych na nich działań wyłoniła wiele działów współczesnej matematyki. Wymowny jest fakt, że jedna z tych teorii nosi nazwę teorii algebr liniowych (lub teorii algebr). Oznacza to, że algebrą został tu nazwany nie dział matematyki, lecz pewien obiekt matematyczny (przykładem algebry liniowej jest zbiór wielomianów z dodawaniem i mnożeniem wielomianów oraz mnożeniem wielomianów przez liczby).

W czasie nauki algebry możesz sam zdefiniować jakieś działanie, przypisać symbol, sprawdzić własności, czy obliczyć element neutralny.

alpha_omega [ Senator ]

GROM Giwera ------------->

Ja osobiście sobie nie wyobrażam czym jest pierwiastek. Nie zastanawiam się. Po prostu jest to dla mnie coś naturalnego jak 2+2.

Czy aby na pewno jest czymś tak oczywistym. Każdy, dowolny punkt prostej daje się przedstawić za pomocą liczby wymiernej, a przynajmniej tak wynikałoby z tego, iż przestrzeń w matematyce (również płaszczyzna) jest ciągła (a więc możemy dowolnie zwiększać rozdzielczość), a jednak pierwiastek z 2 liczbą wymierną nie jest, a leży przecież w obrębie odcinka równego 2. Zresztą weźmy banalną własność:

PIERW_Z_A x PIERW_Z_B = PIERW_Z_(AxB)

po krótkim zastanowieniu wiemy, że tak jest, ale czy rzeczywiście czujemy to za każdym razem, gdy mamy przed sobą pierwiastek, czy odczuwamy w pojęciu pierwiastka tę własność? Może raczej posługujemy się tą własnością w sposób naturalny tylko dlatego, że została ona w nas zaprogramowana rutyną rozwiązywania setek zadań tę własność wykorzystujących .

Dla mnie są one na tyle logiczne i oczywiste (po 'przemysleniach') że nie widzę nic podejrzanego. Nie rozumiem skąd może się brać u Ciebie podejrzanie :)

W jaki sposób to jest oczywiste? Ja nie widzę, ażeby było coś oczywistego w tym, że a*b*c jest równe c*b*a. Spoglądać na to obrazowo? Jak to sobie wytłumaczyć, że tak być musi? Chyba tylko wyobrażenie mnożenia kolejnych liczb jako grafu jako tako mnie przekonuje, że przy dowolnej ilości liczb i dowolnej ich kolejności, działanie mnożenia między nimi daje zawsze ten sam wynnik. Ale mimo wszystko wciąż, za każdym razem muszę na nowo sobie to powtarzać - może powinienem przestać to rozkminiać i zacząć liczyć wykoprzystując tę własność.

06.04.2007

17:32

[3]

alpha_omega [ Senator ]

GROM Giwera ------------->

I najważniejsze - piszesz:

Patrząc na skomplikowany wzór/działania - zależy. W większości nie schodzę do 'niższego poziomu' bowiem matematyka - jest trochę schematycznym przedmiotem, nie ma sensu schodzenia niżej skoro WIESZ, WIDZISZ, ROZUMIESZ na 'wyższym' poziomie. Matematyka uczy abstrakcyjnego myślenia, szczególnie wyższa.

Jeżeli sobie coś raz wytłumaczę, przyjmuję to za pewnik (jeżeli cię dobrze zrozumiałem..).

Jak już mówiłem, myślenie matematyczne ma dużo związanego z myśleniem na poziomie abstrakcji :) Czasem trzeba wyjść 'poza schemat' aby do czegoś dojść, zauważyć pewną zależność pozornie dziwną. Zrobić coś nieschematycznego... jednak jak się później okazuje, te wyjście 'poza schemat' stanie się z czasem Twoim kolejnym schematem wraz z narastającym poziomem kolejnych problemów..

Czyli jednak jest to u mnie pewna chorobliwość, że wytłumaczywszy sobie pewien problem nie wytwarzam z niego schematu tzn. miast już go dość bezrefleksyjnie używać (zwyczajnie stosować jakieś prawo), ja wciąż ponawiam zastanowienie, wciąż wytwarzam jakieś nowe kosmiczne wątpliwości i miast zajmować się rozwiązaniem, wciąż w siebie wmawiam, że nie rozumiem podstawowych pojęć. Bo mi się wydaje, że rozumieć tzn. zawsze używając danego pojęcia niemal dotykalnie widzieć jego własności, tal jak się widzi w krótkim momencie ogarnięcia matematycznego dowodu (kiedy wszystko zlewa się w całość w rozbłysku pełnej jasności). Chyba nie da się tego rozbłysku zachować, ażeby posługując się jakimś pojęciem, czy prawem za każdym razem dostrzegać jego pełnię. A może to kwestia koncentracji? Piszesz: zauważyć pewną zależność pozornie dziwną. Jak jednak sprawić by dziwną być przestała? Po prostu przyjąć ją jako rzecz już udowodnioną i z niej korzystać, aż "wejdzie w krew"?

06.04.2007

18:18

[7]

LUser [ Pretorianin ]

Jestem wprawdzie dopiero na I roku matematyki, jednak podejmę się odpowiedzi.

Jak się powinno czytać książki matematyczne?

Myślę, że warto sobie najpierw zadać pytanie, dlaczego po nie sięgasz. Np. mój kolega wieczorem mówi, że nie ma co robić, to aa poczyta sobie książki/wykłady. Z takiej 'czytanki' zapewne niewiele zostanie. U mnie jest tak, że jak sięgam po książkę, to wtedy, gdy chcę się czegoś z niej nauczyć, więc 'czytanka' odpada.

Jak uczyłem się dowodów do egzaminu, to starałem się przerabiać je krok po kroku. Nie potrafię nauczyć się czegoś, czego najpierw nie zrozumiem, bo to jest dla mnie chore - wykuć na blaszkę, a później zapomnieć, idiotyzm. Dzięki dzieleniu ich na kolejne kroki łatwiej zapamiętać i dłuższe dowody. Owszem, dokładne przerabianie wymaga czasu - ale mam przynajmniej pewność, że będę to dłużej pamiętał i odtworzenie ich będzie polegało wyłącznie na przypomineniu sobie kolejnych kroków, *co* właściwie chcę udowodnić i w *jaki* sposób. Jak coś jest za ciężkie do zrozumienia, to odkładam na później bądź szukam innych źródeł, gdzie czasem jedno zdanie wyjaśnia wszystkie wątpliwości.

Ogólnie notatki z wykładów i książki staram się przerabiać z kartką i ołówkiem w ręku. Uczę się poprzez pisanie, spisywanie pomysłów i 'dlaczego tak, a nie inaczej'.

Czy wyobrażacie sobie czym np. jest pierwiastek? Czy w ogóle rozumujecie obrazowo (wizualne przedstawienia) czy raczej językowo tzn. może macie tak, że po pewnej praktyce w rozwiązywaniu zadań według schematów zaczynacie jakoś odczuwać symbole matematyczne i ich powiązania, tak jak to powiedział pewien matematyk: uczcie się uczcie, zrozumienie przyjdzie potem.

Rzeczy typu pierwiastek mają swoją definicję, a więc opis, co nim nazywamy. I to jest ważne: co MY nim nazywamy. Zdefiniować można mnóstwo rzeczy, ale to wszystko jest opisem człowieka, jak człowiek to nazwał, co człowiek zauważył. Pojęcia, twierdzenia, wzory nie spadły z nieba. Ktoś kiedyś nazwał tak zjawisko, które mogło istnieć przy człowieku od dawien dawna.

Jeden ćwiczeniowiec powiedział nam kiedyś coś bardzo ważnego: matematyka jest jedyną nauką, w której przedmiot badań jest równoznaczny z narzędziami, którymi go badamy. Nie jestem wprawdzie przekonany, że 'jedyną', ale... Daje do myślenia. Pewien współczesny matematyk (żałuję, nie pamiętam nazwiska...) napisał pracę, za którą nagroda wynosiła milion dolarów. Odmówił jednak przyjęcia nagrody w ramach protestu, że jego poprzedniej pracy nie docenili. Po tym wydarzeniu wrócił do rodzimego kraju, do Rosji, gdzie mieszka ze swoją matką i żyje jak przeciętny człowiek. Porzucił matematykę, stwierdził, że go rozczarowała. Interesujące.

Odnośnie aksjomatów - są to prawa, które uważamy za podstawę do opisu różnych zjawisk. Nie udowadnia się ich, po prostu je przyjmujesz bądź nie. To bardzo ważny wybór. Akurat działanie mnożenia nie jest w żadnym razie aksjomatem, zostało odpowiednio zdefiniowane, a następnie udowodniono, że spełnia warunki, by z odpowiednim zbiorem mogło tworzyć grupę przemienną. Ale to już Ci napisali, że jest to zagadnienie z algebry.

Aksjomaty to w ogóle ciekawa sprawa. W teorii mnogości istnieje tzw. Hipoteza continuum ( ). Zależnie od przyjęcia aksjomatów bądź ich odrzucenia otrzymuje się zarówno prawdziwość jak i nieprawdziwość wspomnianej hipotezy. Jak dla mnie oznacza to tyle, że jeszcze czegoś brakuje w owej teorii mnogości.

Czy widząc bardziej skomplikowany wzór, dostrzegacie powiązania jego elementów, aż do najniższego poziomu?

Od razu nie dostrzegam. Ale jeśli będzie w jakikolwiek sposób dla mnie przydatny, jak najbardziej postaram się ułożyć go sobie tak, żebym wiedział, czy powstał ot z pomysłu, czy też z powiązania różnych pomniejszych własności. Owszem, mógłbym go wykuć i korzystać nie zastanawiając się nawet, co robię. Ale wtedy uczyłbym się na ekonomistę/technika/inżyniera, a nie matematyka.

Czy to prawda, że najlepszym sposobem nauki matematyki jest rozwiązywanie jak największej ilości zadań chociażby z początku według schematów?

Tu moja odpowiedź będzie wybitnie na wyczucie, za małe mam doświadczenie ;).
Uczenie się schematów niewątpliwie ratuje tyłek na kolokwiach, sprawdzianach. Jednak przy egzaminie ustnym brak znajomości teorii wychodzi. U mnie na dopytkach z teorii mnogości ludzie poodpadali na definicjach i własnościach, umiejętność rozwiązywania zadań nic nie dała. Myślę, że na krótką metę to dobry sposób, jednak kiedyś wypadałoby się przesiąść na łączenie teorii z praktyką. Większa satysfakcja ;)

07.04.2007

15:57

[9]

hctkko [ The Prodigy ]

każdy ma swoje upośledzenia :D
no ba :) czasami mam pozornie łatwe zadanko do zrobienia. mogę nad nim siedzieć i ze dwie godziny, żeby dojść jak je rozwiązać. wiem, że z tyłu książek\zbiorów są odpowiedzi. nie wiem czemu, ale mam dużą satysfakcję gdy zrobię coś samemu, bez podpowiedzi. i nie jest ważne czy siedzę nad tym 1 minutę czy 1 godzinę - ważne, że zrozumiałem jak to rozwiązać. po takich zadaniach z pewnością nauczyłem się wiecej niż na samym czytaniu bez zrozumienia jakiegoś podręcznika.
jako przykład mogę podać to - mniej więcej 2 tygodnie temu szukałem informacji o konstrukcji wykresów sin, cos, tg i ctg. wszędzie były podane gotowe rozwiązania, narysowane wykresy (jak się później okazało - często źle). nic na ten temat nie było w encyklopediach, słownikach matematycznych... zanim poznałem sposób na rysowanie musiałem zmarnować sporo papieru :P i nerwów ;) podkreślam jeszcze raz - jak nie zrozumiem, mogę nawet nie usnąć z tego powodu :P mam chyba taką wrodzoną ciekawość :D
co do schizów - haha, też to mam :) często zastanawiam się nad błahostkami w stylu 'czy zero jest dodatnie\ujemne\ani takie ani takie i dlaczego'. ostatni hit - hiperbola odwrócona w symetrii środkowej przez punkt w nieskończoności :) poza tym na wikipedii przeczytałem o większości paradoksów i sam próbuję zgłębić ich tajemnice :)