--> Archiwum Forum
Andrzej Lepparkour [ Konsul ]
Zagadka z geometrii :-)
Brat dziś przyniósł mi ze szkoły taką zagwozdkę i sam jeszcze jej nie rozgryzłem. Treść:
Zadanie
W trapezie równoramiennym podstawy mają 15 cm i 6 cm a jego przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta ostrego 60* (stopni). Oblicz pole trapezu i obwód.
Z boku obrazek.
Wskazówka na końcu może być słuszna, ale nie musi, nigdy nie byłem mocny z geometrii. W obliczeniach nie ma błędów (może jakieś nieznacze potknięcia później, ale brat robił to w szkole i c zawsze równało się 9 a wg profesora - 6 - i żaden z nich nie mógł dojść dlaczego tak jest :P).
bles [ Konsul ]
no tylko skad ten profesorek sobie wymyslil ze prawy gorny kat ma 30 stopni. bo ja nie widze zadnego potwierdzenia w zadaniu, aby mozna bylo tak zalozyc.
Andrzej Lepparkour [ Konsul ]
Pozostałe kąty mają 150* (30* i 120*), więc prawy górny musi mieć 30*.
Beerbringer [ Pretorianin ]
bles---> z twierdzenia, że suma katów w trójkącie jest równa 180*......
Aaron [ Konsul ]
W obliczeniach brata jest błąd.
sin 30* = 0,5
czyli 0,5*4,5 = 2,25 a nie 9!!!
edit:
Z tego wynika, że h=(2,25*-/3):2
edit 2: Tylko tak nie chce być 6...
Maliniarz [ The Watcher ]
sin30*=x/c
c*sin30=x
c=2*x=9
Jest dobrze na razie
Aaron [ Konsul ]
ahh, bo ja pomnożyłem... :/ Dobra, nie patrzcie na mój powyższy kąt
Beerbringer [ Pretorianin ]
może sa 2 rozwiązania tego zadania? Istnieją 2 różne takie trapezy?
leslAv [ Konsul ]
Ja znalazlem inny blad w zadaniu twego brata ,
1. Wylicza ze c=9 czyli tak jak mi :D
Ale jak liczy ob=a+b+ 2c= 15+6+9=39 !!! Tu jest blad bo nie pomnozyl 2c :D
A pole licze tak sao.
A co dobledu to chyba popelnil go prf. :D a nie twoj brat
EDIT: Musisz poszkuac czy dzili ten kat na pol bo nie wiem dokladnie i wtym tkiwc moze blad profesorka :D
Aaron [ Konsul ]
No dobra, a sprobujcie sobie tak:
x : sin 30* = c : sin 90*
po obliczeniach wychodzi jeszcze co innego :/
leslAv [ Konsul ]
Aaron---> Jak dla mnie to zadanie jest jednoznaczne i wg mnie powinno sie to zrobic tak jak robil to brat a nie profesor
PAW666THESATAN [ PIF PAF ]
9 mi wyszło.
Tam mamy trójkąt 30*60*, więc bok leżący na przeciwko kąta 60* jest równy (c*sqrt(3))/2, gdzie c to przeciwprostokątna, a sqrt(3) to pierwiastek z 3. Układamy równanie z tw. Pitagorasa:
x=4,5
c^2 = (4,5)^2 + ((c*sqrt(3))/2)^2
c^2 = 20,25 + (3c^2)/4 //mnożymy obustronnie przez 4
4c^2 = 81 + 3c^2 // przenosimy 3c^2 na drugą stronę
c^2 = 81
c = 9 v c = -9 // nie może być boku o ujemnej długości, więc c=9.
Cainoor [ Mów mi wuju ]
Ile wychodzi c w tym przypadku? 7,5? :)
leslAv [ Konsul ]
Paw---> czyli tak jak mowilem :D
A inna sprawa to to ze jak teraz patrze na ten rysunek to ewidentnie tam widac ze przekatna nie dzili kata na pol :)
Maliniarz [ The Watcher ]
Cainoor -> wcale nie pomagasz :)
leslaV -> rysunek jest pomocniczy tylko...
prefix [ Pretorianin ]
Gdy zrobiłem rysunek z wymiarami rzeczywistymi to wyszło mi, że ramię ma 9 cm, a wysokość ok. 7,7cm (4,5sqrt3), ale jak to udowodnić?
Grzesiek [ Cezar ]
Tutaj można spekulować wg mnie:)
Mamy do wyliczenia tak naprawdę dwie niewiadome - wysokość oraz ramię trapezu.
Są to na tyle specyficzne boki, że jeden będzie zmieniał się w stosunku do drugiego.
Oczywiście kąty nadal będą wynosić odpowiednio 2x60* i 2x120*, jednak przecież rysunek można skalować - wyciągnie się trapez do góry, to ramiona też zwiększą swoją długość.
Mniejsza wysokość, mniejszej długości ramiona.
Dla przykładu
a) rozwiązanie nauczyciela (profesor to za dużo powiedziane, pewnie mgr ma tylko :) ):
c = 6 cm
h = 3,97 cm (ok. 4)
b) rozwiązanie Cainoora:
c = 7,5 cm
h = 6cm
c) rozwiązanie brata:
c = 9 cm
h = 7,79 cm (ok. 8)
Widzimy zatem, że każde wydłużenie ramienia (w tym przypadku) powoduje zwiększenie wysokości o ok. 1,5 cm :)
To tyle ode mnie :)
Edit:
Teraz to się tak zastanawiam, czy przy skalowaniu wartość kątów się czasem nie zmienia :) Ale chyba nie :)
Cainoor [ Mów mi wuju ]
Grzesiek,
Jak to się kąty nie zmianiają? Jeśli "rozciągasz" trapez np. do góry? Przecież ramię trapezu zmienia swoje nachylenie do podstawy :)
prefix [ Pretorianin ]
Mam rozwiązanie (prawdopodobnie dobre). Po prostu podstawą jest narysowanie rysunku o wymiarach rzeczywistych (patrz zdjęcie). Gdy poprowadzimy dwusieczną z kąta przy wierzchołku B okazuje się, że NIE utworzy ona przekątnej, ale trójkąt ABX o kątach 90, 60, 30. Skoro w trójkącie ABX bok |AB| ma 15 to |AX| ma długość 7,5. Pozostałe 1,5 cm to bok |XZ| małego trójkąta XYZ o kątach 90, 60, 30, bo |AT|=4,5, więc |AZ|=9. |AZ|-|AX|=1,5.
Obwód to 9*2+15+6=39.
Pole to (4,5sqrt3*21)/2= 47,25sqrt3
Wydaje mi się, że dobrze obliczyłem, choć winą za nieporozumienie jest zła konstrukcja treści zadania.
DEXiu [ Generaďż˝ ]
No więc tak. Na moje oko to albo braciszek coś źle treść podał/przepisał, albo zadanie jest najzwyczajniej w świecie sprzeczne :) (nie istnieje trapez równoramienny o podstawach 15 i 6, którego kąt ostry wynosiłby 60 stopni, a przekątna dzieliła by go na połowy - wynika to chociażby z faktu, że brat rozwiązał prawie dobrze (nie licząc tego drobnego kopsnięcia przy obwodzie, ale interesują nas długości odcinków a te wyliczył poprawnie) i otrzymał inny wynik niż Cainoor który również skorzystał z treści zadania; zresztą nauczyciel zrobił tak jak Cainoor, tylko jeszcze z innej strony). Po prostu jest za dużo danych - starczyłoby tego na dwa osobne zadania a nie na jedno :P
Grzesiek ==> Ciepło, ciepło, ale nie do końca ;) Bawiąc się w "skalowanie" trzeba niestety uważać. W tym przypadku albo skalujemy nie zmieniając kątów i wówczas wraz z wydłużaniem ramienia i wysokości będą nam sie wydłużać podstawy, a te przecież mamy dane, albo będziemy skalować z zachowaniem długości podstaw, lecz wówczas kąty będą się zmieniać - nie mówiąc już o przekątnej-dwusiecznej.
Grzesiek [ Cezar ]
Poszedłem na zajęcia i tramwaju skapłem się, że przecież bzdury napisałem. Ale gafa :) Ale coś w tych podpunktach jest ;)
Edit:
A co do zadania, to:
- cos60* = 0.5
- cos60* w zadanej figurze to np. (AT)/c
- z tego wynika, że c=9cm
- z sinusa wyliczyć możemy h, czyli 4,5sqrt(3)
I to na pewno będzie OK.
DEXiu [ Generaďż˝ ]
Grzesiek ==> Umiesz czytać? Podkreślam jeszcze raz, że w obecnej formie ZADANIE NIE POSIADA ROZWIĄZANIA. W trapezie przekątna może pokrywać się z dwusieczną kąta, ale nie w tym przypadku.
[bd,[55,pb5i [ Generaďż˝ ]
[23] [bd,[55,pb5i [ Pretorianin ]
W rozwiązaniu brata 30* wyżej z boku, z boku dolny kąt 60*, a z boku na środku 45*, a na środku wyżej i niżej 90*
Porównanie https://www.gry-online.pl/S055_forum.asp?ID=6197757&WID=6196546&N=1 z https://www.gry-online.pl/s055_forum.asp?ID=6196546&WID=6196546&N=1