--> Archiwum Forum
Marvel_ [ Centurion ]
Pierwiastek n - stopnia ...
Mam do rozwiazania takie zadanie
-->
mam udowodnic ze 3 jest pierwiastkiem tego wielomianu oraz ile krotny jest ten pierwiastek
z pierwsza czescia sobie poradzilem ale drugiej nie moge ruszyc ...
( sorry za ten obrazek ale equationa mi wcielo :/)
Loczek [ El Loco Boracho ]
1. Przede wszystkim a jest pierwiastkiem wielomianu gdy W(a)=0 czyli W(3)=0
2. Żeby zbadać ilokrotnym pierwiastkiem jest trójka polecam schemat Hornera (zresztą można ominąć pierwszy punkt i od razu schemat Hornera wykorzystać)
Marvel_ [ Centurion ]
Loczek
Moglbys mi to jakos konkretnie wytlumaczyc ?
Grzesiek [ Cezar ]
Jak Loczek napisał - żeby sprawdzić czy jest pierwiastkiem, trzeba wstawić x=3. Jeśli wyjdzie 0 to jest :)
Co do krotności, to możesz kolejno dzielić przez wielomian (x-3) jak na rysunku, albo rozłożyć ten wielomian na takie czynniki, żeby później wyciągnąć ileś tam razy to szukane (x-3).
Loczek [ El Loco Boracho ]
1. W(3) czyli podstawiasz za x - 3... W(3)=3^4-6*3^3+5*3^2+24*3-36
w(3)=0 <=> 3^4-6*3^3+5*3^2+24*3-36=0
Jeśli równość jest prawdziwa to 3 jest pierwiastkiem tego wielomianu
2. Trudno bedzie przez Internet, polecam jakąś książke, albo zapytać nauczycielki jak sie robi schemat Hornera bo to najłatwiejsza metoda rozwiązywania wielomianów... Ale niech bedzie
w(x)=x^4-6x^3+5x^2+24x-36
Rysujesz tabelk
#|1|-6|5|24|-36 (współczynniki)
3|1|-3|-4|12|0
w(3)=x^4-6x^3+5x^2+24x-36=(x-3)(x^3-3x^2-4x+12)
Teraz małe objaśnienie:
3 w I kolumnie - liczba jaką sprawdzasz czy jest pierwiastkiem
II kolumna = współczynnik w I wierszu w II kolumnie
III kolumna = I kolumna * poprzednia kolumna + współczynnik w I wierszu III kolumny
IV kolumna = I kolumna * poprzednia kolumna + współczynnik w I wierszu IV kolumny
itd.
Marvel_ [ Centurion ]
Ok ... ta sprawa jest zalatwiona ... mam nadzieje
Otoz mam sprawdzian z zakresu : pierwiastek wielomianu, wielokrotny pierwiastek wielomianu, twierdzenie bezouta
I mam pytania dotyczace tego :
1. Wiem jak sprawdzic czy dana liczba jest pierwiastkiem danego wielomianu ... ale gubie sie juz przy zadaniach typu : "dla jakich paramterow a i b liczba r1 i r2 sa pierwiastkami wielomianu" albo " dla jakich parametrow a i b liczba r1 jest 2 krotnym pierwiastkiem tego wielomianu
2. Do czego sluzy twierdzenie bezouta ? Twierdzenie znam ale za bardzo nie wiem jak z niego korzystac
3. Kiedy sie uzywa delty i x1 i x2 ? Kojarze ze w pewnych zadaniach uzywalem czegos takiego ...
Marvel_ [ Centurion ]
Grzesiek -->
czegos nie rozumiem
dlaczego wyszlo ci x^3 - 3x^2 - 4x + 12 ?
dajmy na to ten fragment
- 3x^3 + 5x^2
to zeby to od siebie odjac to chyba musi tu byc + czyli +3x^2 ?
chickenom [ ]
Spróbuj z tiwerdzenie Bezouta
Jezeli 3 jest pierwiastkiem to wielomian W(x) dzieli się przez (x-3)
----------------------
1. Wiem jak sprawdzic czy dana liczba jest pierwiastkiem danego wielomianu ... ale gubie sie juz przy zadaniach typu : "dla jakich paramterow a i b liczba r1 i r2 sa pierwiastkami wielomianu" albo " dla jakich parametrow a i b liczba r1 jest 2 krotnym pierwiastkiem tego wielomianu
Po pierwsze powiedzmy ze wielomian to funkcja kwadratowa:
czyli aby były rozwiązania delta musi być większa od zera (wykres musi przeciąć oś x w dwóch miejscach.
Zeby funkcja była kwadratowa a nie może byc rowne 0.
Następnie liczysz deltę. Potem deltę z delty, aby wyznaczyć parametr.
co do r1 i r2 to stosujesz prostą zależność np. r1 = 5r2 i następnie ze wzorów Viety + układ równań rozwiązujesz tego typu zadania.
2. Do czego sluzy twierdzenie bezouta ? Twierdzenie znam ale za bardzo nie wiem jak z niego korzystac
Jeżeli 3 jest pierwiastkiem wielomianu to dzieli się on przez wyrażenie (x - 3). Dzięki temu bardzo łatwo można wyliczyć pozostałe pierwiastki - po podzieleniu otrzymujemy uproszczony wielomian w stopniu o jeden niższym.
3. Kiedy sie uzywa delty i x1 i x2 ? Kojarze ze w pewnych zadaniach uzywalem czegos takiego ...
Delty do obliczania pierwiastków x1 i x2, ew. do robienia zależności i założen.
Grzesiek [ Cezar ]
Marvel_ ---> jaki masz podręcznik do matematyki? Radzę powtórzyć go dogłębnie. Musisz pamiętać, że zmieniasz znak w tej całej regule, nie wiem jak Ci to wytłumaczyć, w książce na 100% jest. A to co napisałem, jest okie :)
Ad.3) Delty służy do rozwiązania równania kwadratowego (druga potęga przy zmiennej x). Jeśli delta jest większa od zera wtedy rozwiązaniem zadanego równania kwadratowego są dwie liczby określone odpowiednio wzorami na x1 i x2. Gdy delta jest równa zero, wtedy równanie ma jeden pierwiastek określony odpowiednim wzorem.
Najlepiej to wyobraź sobie najprostszą parabolę. I tak:
a) parabola o równaniu y=x^2 ma jedno miejsce zerowe (tam, gdzie styka się z osią OX - czyli punkt (0;0)
b) parabola o równaniu y=x^2-x ma dwa miejsca zerowe - (0;0) oraz (1;0)
Edit:
Twierdzenie Bezout - , czyli dokładnie to, co ja zrobiłem na kartce. Zastosowałem to twierdzenie dwukrotnie :)
Grzesiek [ Cezar ]
Wszystko jasne już?
Marvel_ [ Centurion ]
Grzesiek
Nie do konca ... wolalbym zeby to co mowisz/mowiliscie o tych deltach, x1 i innych parametrach na jakims przykladzie to wykonali ... wtedy byloby mi latwiej to zrozumiec
Grzesiek [ Cezar ]
Równanie kwadratowe:
Co do zagadnienia parametrów. Tutaj pytają o to, jaka musi być ta liczba A (parametr), żeby to równanie zerowała się (miało rozwiązanie) w określonych przypadkach, np.:
- pierwiastkiem wielomianu jest liczba 5. Wtedy dzielisz wielomian wyjściowy przez dwumian (x-5). Otrzymujesz wtedy pewien wielomian (ewentualnie resztę z dzielenia). I tak musisz dobrać parametr (czyli liczbę A np.), żeby to wszystko = 0
Jasne?
:)
Marvel_ [ Centurion ]
Grzesiek
Powiedzmy ...
Grzesiek [ Cezar ]
Marvel_ ---> z własnego doświadczenia powiem Ci - rób, rób i jeszcze raz rób przykłady z książki. Temat, który bierzecie może sprawiać pewne trudności, ale jest on bardzo łatwy - wystarczy ćwiczyć. Od patrzenia nic się nie nauczysz.
Jak co, to pisz :)
Marvel_ [ Centurion ]
Grzesiek
Ok powiedzmy ze mam jakis dany wielomian i mam sprawdzic dla jakich parametorw a i b jest on pierwiastkiem drugiego stopnia ... czyli co ? dziele ten mielomian dwa razy a potem czy mam przyrownac do zera tylko ta I czesc czy tez ta druga ? ( dajmy na to (x-5) ) ?
chickenom [ ]
Marvel ->
dla jakich parametorw a i b jest on pierwiastkiem drugiego stopnia
Jeżeli jest pierwiastkiem drugiego stopnia, dzielisz wielomian przez (x - pierwiastek)^2
DEXiu [ Generaďż˝ ]
chickenom Marvelowi chyba chodziło już o dalszy etap ;)
Marve;_, jak podzielisz przez (x-2)^2 to resztę (czyli to co wyjdzie na samym dole słupka - już niepodzielne przez (x-2)^2 - będzie to zapewne wielomian stopnia 0 lub 1, np. taki jak podałeś) to przyrównujesz ją do 0.
Marvel_ [ Centurion ]
Czyli mam rozumiec ze dziele dany wielomian dwa razy a drugi raz ta reszte z dzielenie przyrownuje do 0 ?
Loczek [ El Loco Boracho ]
Marvel_: tak... Ale naucz sie schematu Hornera. Nie wiem czemu nie uczą tego od razu przecież to jest najprostsza metoda. Góra 2 minuty liczenia.
Harrvan [ Legend ]
edit : nie ten temat sorry
Marvel_ [ Centurion ]
Loczek
Tylko ja tu czegos nie rozumiem ... bo
dajmy na to ze mam taki wielomian
x^4 - 2x^3 + 6x^2 + ax + b gdzie r =1
Polecenie : dla jakich wartosci parametrow a,b liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu
czyli
(x^4 - 2x^3 + 6x^2 + ax + b):(x-1)
tylko co zrobic z tymi a i b przy dzieleniu ?
Marvel_ [ Centurion ]
up
Loczek [ El Loco Boracho ]
Marvel: no jakto co? a to zwykły współczynnik a b w tym wypadku wyraz wolny, po prostu używqasz ich w dzieleniu jak zwykłych liczb:
#|1|-2|6|a|b
1|1|-1|5|5+a|5+a+b
Tu otrzymujesz ze w(x)=(x-1)(x^3-x^2+5x+5+a) oraz 5+a+b=0
#|1|-1|5|5+a
1|1|0|5|10+a
w(x)=(x-1)^2(x^2+5) i uklad równań
10+a=0
5+a+b=0
a=-10
b=5