Zadanko z matematyki wyższej

Isam [ Senator ]

Matematyka wyższa :]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

Oj chopie, weź podręcznik do analizy.

Grabixon1987 [ Pretorianin ]

up

pomoze ktos ?

14.03.2007

00:02

[5]

eLJot [ a.k.a. księgowa ]

Założe sie, że w każdym podręczniku z analizy znajdziesz ten dowód!

Xerces [ A.I. ]

Spędzam sporo czasu na książkami matematycznymi i nie przypominam sobie abym kiedyś natknął się na ten dowód.

Po pierwsze: co to jest przedział ]a,b[ ? Pierwsze widze taką notacje. Chodzi o przedział otwarty czy domknięty? Są dwie możliwości:

Jest to przedział domknięty. Wydaje mi się to mniej prawdopodobne i nie będę się rozwodził nad tym przypadkiem. Jeżeli jednak byłby to przedział domknięty, to wtedy z faktu, że funkcja jest różniczkowalna na tym przedziale od razu wynika, że jest na nim ciągła (zaznaczam, że różniczka, a pochodna to dwa różne pojęcia, ale faktycznie w analizie jednej zmiennej są to pojęcia równoważne). Ten fakt jest dość prosty do udowodnienia. Jeżeli natomiast funkcja jest ciągła i określona na przedziale domkniętym to jest na nim jednostajnie ciągła. To już jest troszkę trudniejsze do udowodnienia, ale jak już mówiłem nie będę się rozwodził nad tym przypadkiem. Ponadto w tym wypadku kompletnie nie jest potrzebne założenie o ograniczoności pochodnej, tak więc jest to kolejny argument za tym, że przedział ]a,b[ oznacza przedział otwarty.

Tak więc do puenty.

Niech dana będzie funkcja f(x) spełniająca założenia w treści zadania. Wtedy na mocy ograniczoności pochodnej istnieje taka liczba M, że |f’(x)|<M dla każdego x z przedziału (a,b).

Wiemy, że funkcja jest jednostajnie ciągła na przedziale ( a,b ) jeżeli dla każdego x0 z tego przedziału i E>0 istnieje taka D zależna tylko i wyłącznie od E, że |f(x)-f(x0)|<E, jeśli tylko |x-x0|<D.

Dokładniej raz już to tłumaczyłem w wątku:

https://forumarchiwum.gry-online.pl/S043archiwum.asp?ID=5905033

Faktycznie wystarczy w tym przypadku obrać D=E/M, aby powyższe twierdzenie zachodziło dla naszej funkcji.

Weźmy dowolny x0 z przedziału (a,b) i dowolne E>0, a D zwiążmy związkiem D=E/M. Weźmy dowolny punkt x, taki, że |x-x0|<D i taki, że x należy do (a,b). Pokażemy, że wtedy |f(x)-f(x0)|<E. Na mocy twierdzenia Lagrange'a (funkcja jest różniczkowalna, a co za tym idzie ciągła, więc możemy zastosować te twierdzenie):

|f(x)-f(x0)|/|x- x0|=|c| gdzie c jest równe pochodnej funkcji w pewnym punkcie x’ spełniającym warunek |x0-x'|<D, z tego:

|f(x)-f(x0)|/|x-x0|=|c| <=> |f(x)-f(x0)| =|c|*|x-x0|

ale wiemy, że punkt |c| jest mniejszy od M, tak wiec:

|f(x)-f(x0)| = |c|*|x-x0| < M*|x-x0| < M*D = M*E/M = E

a więc

|f(x)-f(x0)| < E, jeśli tylko x jest takim punktem, że |x-x0|<D

D zależy tylko i wyłącznie, od E. Funkcja jest, więc jednostajnie ciągła.