--> Archiwum Forum
Zeus1990 [ Generaďż˝ ]
POMOCY-MATMA
mam problem z takim zadaniem:
Dane są 3 niewspółliniowe punkty na płaszczyźnie. Znajdź takie 3 proste równoległe przechodzące przez te punkty, aby odległości między nimi były w stosunku 2:1.
Podaj liczbę wszystkich rozwiązań.
to zadanie jest częścią pewnego konkursu ale rozwiązanie go nie pomoże mi w wyraniu ponieważ odpadłem już z rywalizacji ale zadania robie do końca
wydaje mi się że powinien wyjść wynik 3 ale to chyba zła odp.
PROSZE O POMOC
Zeus1990 [ Generaďż˝ ]
up
to dlamnie naprawde ważne...
...czy mógłby mi ktoś pomóc
pietras11 [ Pretorianin ]
jestem w podstawówie nie umiem takich rzeczy
Zeus1990 [ Generaďż˝ ]
to po co się dopisujesz ?!!
...jeżeli ktoś potrafi mi pomóc to będe wdzięczny
leslAv [ Konsul ]
jak probowalem robic znaczy roszrysowac to mi tez wychodzilo trzy wiec chyba dobrze masz :D
mrEdDi [ Sygnatariusz ]
hmmm IMO są 4 takie rozwiązania... narysuje sobie na czysto i ładnie i zobacze co mi wyjdzie.
leslAv [ Konsul ]
mredi---> wlsnie jak ja rysowalem dokladnie to wychodzi mi ze 3 sposoby
1. normalnie prote pionowo
2. drugie pod katem 45 stopni
3. Tak samo ja 2. tylko w druga strone
a ty zapewne 4 rozpatrzasz dla poziomych tylko ze wtedy nie bedzie stosunku 2:1
mrEdDi [ Sygnatariusz ]
leslav--> zależy gdzie i jak obierasz punkty. Mi wychodzą 4 rozwiązania.
1. Pionowo
2. Poziomo
3. 45stopni w prawo
4. 45stopni w lewo.
edit masz fotke
Zeus1990 [ Generaďż˝ ]
ale one sa współliniowe "Dane są 3 niewspółliniowe punkty na płaszczyźnie"
główkuj dalej :P
DEXiu [ Generaďż˝ ]
Dobrze myślisz - poprawna odpowiedź to 3.
Zeus1990 [ Generaďż˝ ]
DEXiu ---> dzieki za potwierdzenie
mrEdDi ---> widzisz to juz 3 osoba ktorej tak wyszlo (ja leslav dexsiu)
DEXiu [ Generaďż˝ ]
Aha, jeszcze taki mały post scriptum:
mrEdDi na przyszłość robiąc jakieś zadanie dobrze jest przeczytać dokładnie treść (to odnośnie współliniowości) i nie robić "dobrych" rysunków - uczniowie mają często skłonność do robienia "zbyt dobrych" rysunków do zadań z geometrii (np. rozpatrują jakiś szczególny przypadek, zamiast zgodnie z treścią zadania - dowolny). Przejechałeś się bo wymusiłeś stosunek odległości punktów 2:1 i znalazłeś więcej prostych spełniających warunki zadania (pomijając fakt, że dla Twojego rysunku takich prostych jest nie 4 a nieskończenie wiele - praktycznie wszystkie oprócz pokrywających się z prostą na której leżą te punkty :D )
leslAv [ Konsul ]
DEXI-u----> wlasnie ja na pocztaku tak samo sadzilem ze bedzie nieskonczenie wiele bo cos mi nie pasowalo, tylko ze dopiero pozniej w tym koonkursie podali ze nie moga byc wspolliniowe to dobrze mi wychodzilo, a co do tego zeby unikac szczagolnyych przypadkow to tez tak sadze bo bardzo latwo na takim czys sie przejechac
maniek_ [ arladion ]
Mamy 3 pkt: x1,y1 x2,y2 x3,y3
Przez te pkt przechodzą trzy proste o równaniu ogólnym ai*x + bi = yi gdzie i=1..3
Ponieważ proste są równoległe, więc: a1=a2=a3=a
Zatem mamy trzy równania:
l1: a * x1 + b1 = y1
l2: a * x2 + b2 = y2
l3: a * x3 + b3 = y3
Mamy ponadto warunek odległość prostej l1 od l2 wynosi tyle co odległość l2 od l3 razy dwa, zatem:
Odległość pozioma między prostyli to bj - bi np. b2 - b1 oraz b3 - b2.
Mając odległość poziomą i kąt nachylenia prostych obliczymi odległość między prostymi.
a= d1-2 / e1-2
(d1-2)^2 + (e1-2)^2 = (b1-2)^2 // (e1-2)^2
a^2 + 1 = (b1-2)^2 / (e1-2)^2 => wyliczam "e" a potem "d"
(e1-2)^2 = (b1-2)^2 / [a^2 + 1]
(d1-2)^2 = (b1-2)^2 * [ 1 - 1/(a^2 + 1)]
analogicznie liczę d2-3
znając zależność iż d1-2 = 2* d2-3 mamy czwarte równanie:
(b1-2)^2 * [ 1 - 1/(a^2 + 1)] = 2 * ‹(b2-3)^2 * [ 1 - 1/(a^2 + 1)]›
Są więc: cztery równania
a * x1 + b1 = y1
a * x2 + b2 = y2
a * x3 + b3 = y3
(b1-2)^2 * [ 1 - 1/(a^2 + 1)] = 2 * ‹(b2-3)^2 * [ 1 - 1/(a^2 + 1)]›
i cztery niewiadome:
a, b1, b2, b3
Układ da się rozwiązać jednoznacznie.
Resztę dopisz sobie sam :)
leslAv [ Konsul ]
maniek --> troche ze tak powiem kosmicznie to rozpisales ale z tego ile wychodzi rozwiazan??
DEXiu----> myliles sie bo poprawna odpowedz to 9 :O dla mnie to tez troche zaskoczenie , bo wydawalo mii sie ze bedzie to 3 ale jednak :/
DEXiu [ Generaďż˝ ]
leslAv ==> Fakt. Pomyliłem się, przyznaję. A pomyłka była wynikiem dwóch błędów - po pierwsze źle zinterpretowałem treść zadania, a po drugie nawet w tej swojej błędnej interpretacji nie zauważyłem jednej możliwości - krótkowzroczność ma jest wielka :D
Na życzenie wrzucę sposób w jaki można "zauważyć" rozwiązanie (bo dowodem nazwać to będzie ciężko ;) )
leslAv [ Konsul ]
dexiu--> znaczy , nie jestem pewny ale tak napewno nie jest , nie mow mi tylko ze oni to tak zrobili ze jak mam 3 rozwiazania a w kazdym 3 proste to 3x3=9..............
chyba jednak nie :/
m997 [ Konsul ]
ja matme olewam zawsze ide na wagary heheh
cin3k7 [ Wypomnij mi moj ranking ]
m997>> Nie chwal się głupotą.
leslAv [ Konsul ]
m997-->masz sie czym szczycic
m997 [ Konsul ]
no szczyce się bo matme olewam a mam 4re heheh (gimanzjum)
cin3k7 [ Wypomnij mi moj ranking ]
ja matme olewam zawsze ide na wagary heheh
To ciekawe skąd masz oceny na tą czwórkę na koniec.
DEXiu [ Generaďż˝ ]
ja matme olewam zawsze ide na wagary heheh
no szczyce się bo matme olewam a mam 4re heheh (gimanzjum)
Mistrzu, jak ty to robisz? :o :D
OK. To wrzucę swoje skromne "rozwiązanie" (przy czym nie można tego uznać za eleganckie ani formalne rozwiązanie - wymagałoby dopracowania) niniejszego zadanka (poziom druga-trzecia klasa LO, więc co mniej ambitni uczniowie niższych klas mogą sobie darować ;)
Narysujmy dowolne trzy niewspółliniowe punkty (czyli wierzchołki trójkąta) A, B, C i trzy równoległe proste przechodzące przez te punkty (odpowiednio - przez punkt A niech przechodzi prosta a, przez B prosta b, a przez C prosta c). Przyjmijmy bez straty ogólności (dla pozostałych dwóch przypadków rozumowanie będzie analogiczne), że prosta a leży między prostymi b i c. Zauważmy teraz, że jeśli będziemy obracać tymi prostymi (tak aby cały czas były równoległe i przechodziły przez "swoje" punkty) to w pewnym momencie prosta a pokryje się z prostą b lub c (w zależności od tego w którą stronę będziemy kręcić), czyli odległość między prostymi a i b (lub a i c - ale załóżmy że pokryje się a i b) będzie dążyć do 0, natomiast odległość a od drugiej prostej pozostanie niezerowa (bo punkty są niewspóliniowe czyli nie może zajść sytuacja, aby wszystkie trzy proste się pokryły). Oznacza to, że stosunek odległości prostych a i c do odległości a od b będzie dążyć do nieskończoności (dla x>0 mamy lim_‹n-->0› x/n=nieskończoność). Z kolei kręcąc w drugą stronę w pewnym momencie proste znajdą się w takim ułożeniu, że a będzie równoodległe od b i c - wówczas |ab|:|ac|=1:1, ale z drugiej strony |bc|:|ab|=|bc|:|ac|=2:1 - mamy jedno rozwiązanie. Kręcąc nadal w tę samą stronę (tak aby tym razem a pokryła się z c) znowu będziemy mieli sytuację, w której stosunek odl. a od b do odl. a od c będzie dążył do nieskończoności (zauważcie, że tym razem bierzemy stosunek odwrotny - przedtem było |ac| do |ab| a teraz |ab| do |ac|). Ponieważ odległość między prostymi zmienia się w sposób ciągły to widzimy, że zarówno kręcąc w jedną stronę, jak i w drugą musi istnieć takie położenie, dla którego będzie |ac| do |ab| = 2:1 (to w pierwszym przypadku - gdyż kręcąc zmieniamy stosunek odległości w zakresie od 1 do nieskończoności, więc w pewnym momencie będzie on równy 2) lub |ab| do |ac| = 2:1 (analogicznie tylko kręcąc w drugą stronę). Ponieważ założyliśmy na początku, że a leży między b i c i wykazaliśmy, że w takiej sytuacji są trzy ułożenia spełniające warunku zadania, to biorąc pozostałe dwie możliwości dostajemy 9 rozwiązań.