Pytanko z matematyki (studia)

Xerces [ A.I. ]

i teraz za E(psilon) biorę 1 i teraz powyższa nierozwnosc jest prawdziwa zawsze w R+,

Tak? A dla x1=1/5 x2=1/10 ?

czy to o to chodzi ?

Nie, nie o to chodzi.

Przede wszystkim 1/x nie jest jednostajnie ciągła w R+, więc nie udowodnisz tego faktu.

Najpierw mała teoria, bo widzę, że nie masz pojęcia co robisz.

Funkcja jest ciągła w punkcie x0 jeżeli dla każdego E istnieje takie D ze |f(x)-f(x0)|<E jeśli tylko |x-x0|<D. Inaczej mówiąc funkcja jest ciągła w jakimś punkcie jeżeli jeżeli przy argumentach dostatecznie bliskich x0, wartości funkcji są dostatecznie bliskie f(x0).

Przykładowo weźmy sobie funkcję f(x)=1/x. Chcemy udowodnić, że w x0 ma granicę 1/x0, czyli, ze dla dowolnie małego E zachodzi:

|1/x - 1/x0|<E jeśli tylko istnieje takie D, ze
|x-x0|<D

Chciałbym zaznaczyć, że to jest to zupełnie inne podejście do spotykanego najczęściej na Politechnikach czy kierunkach nie związanych z matematyką. Tam jak się liczy granicę w punkcie to upraszcza sie pewne wyrażenie analityczne, wrzucając do dziedziny punkt skupienie zbioru X dla którego szukamy granicę, a następnie jak już się to uda to momentalnie korzystając z ciągłości funkcji elementarnych liczy się granicę zwyczajnie obliczając wartość funkcji w danym punkcie x0.
Oczywiście można z tego skorzystać, ale najpierw trzeba udowodnić, że funkcje elementarne są ciągłe w całym swoim przedziale określoności. Licząc granicę w ten sposób, można czasami zatracić się w tym co się robi i jaka była pierwotna idea.
To jeszcze akurat jest nic. Czasami zdarzają się motywy gdzie ktoś udowadniając, że funkcja jest ciągła w jakimś punkcie, korzysta z faktu, że jest ciągła! Np. Obliczyć granicę,f(x)=2x+1 przy x-> 10. Wielu ludzi od razu wie ze wartość funkcji dla x=10 to 21, a następnie policzy granicę bazując na równości lim (x->10) f(x) =f(10) co jest skorzystaniem z ciągłości funkcji czyli z tego co chcemy dopiero udowodnić! Czasami gdzieniegdzie takie błędne liczenie jest tolerowane. Ciągłość powinno się sprawdzać w tym wypadku z definicji tej, którą napisałem lub równoważnej Heinego, albo co jest bardziej uniwersalne, powinno się udowodnić ciągłość funkcji elementarnych w każdym punkcie gdzie jest określona. Wtedy całe rozwiązanie przyjmuje postać: "Funkcja f(x) jest funkcją liniową, a więc jest ciągła dla każdego x, a w szczególności dla x=10." Tyle gadania teraz do roboty,


|1/x - 1/x0|<E jeśli tylko istnieje takie D, ze
|x-x0|<D

Czyli dla dowolnego E, musimy wybrać jakieś konkretne D. Tutaj akurat będziemy się posługiwali zależnością (*) D= E*x0^2/(1+E*x0) (nie pytaj skąd wziąłem te zależność - już trochę doświadczenia).

Czyli:

|x-x0|<Ex0^2/(1+E*x0)
x0 - Ex0^2/(1+E*x0) < x < x0 + Ex0^2/(1+E*x0)
x0 /(1+E*x0)< x < (x0 + 2*E*x0^2) /(1+E*x0) < x0/(1-E*x0)
(1-E*x0)/x0<1/x<(1+E*x0)/x0
1/x0 - E < 1/x < 1/x0 + E
|1/x - 1/x0|<E
|f(x)-f(x0)|<E

CND

Czyli jeżeli za x0 obierzemy np. 1 i pytamy sie dla jakiego przedziału X o środku w x=1 wartości funkcji nie będą wykraczać poza przedział (1/2 ; 3/2) (czyli przyjęliśmy E=1/2) to wyliczamy D z powyższego związku = 1/3. Czyli dla x z przedziału (2/3, 4/3) funkcja przyjmuje wartości funkcji nie wykraczają poza przedział od 1/2 do 3/2. Ten przedział wartości można dowolnie zwęzić odpowiednio zmniejszając E. Jeżeli wezmę sobie E=0,01, czyli zażyczę sobie aby wartości funkcji wokół punktu 1 oscylowały w przedziale ( 0,99 ; 1,01 ) to wystarczy dobrać D na postawie związku (*) D=0,0099. A więc dla x z przedziału ( 0,9901 ; 1,0099 ) wartości funkcji zawierają się w przedziale (0,99 ; 1,01 ). I to jest właśnie ciągłość funkcji w tym punkcie - dla dowolnie małego E mogę sobie dobrać dowolnie mały przedział argumentów.

Jak widać zarówno, dla każdego punktu x0 i każdego E, liczba D jaką musimy dobrać jest zawsze inna. Ta D, która jest odpowiednio mała dla pewnej pary x0,E nie musi być dobra dla innej pary (konkretnie staje się zła gdy w nowym przedziale funkcja ma "ostrzejszy spadek", czyli pokrywa dłuższy przedział wartości). Pojawia się pytanie, czy można dla konkretnego E dobrać takie D, żeby było dobre dla każdego punku x0 z przedziału X? Inaczej, mówiąc czy można dobrać takie D, które będzie zależało tylko i wyłącznie od E, a nie od punktu dla którego liczmy granicę? I jeszcze inaczej mówiąc - tłumaczyć na język intuicyjny - czy dla jakiegoś zadanego przedziału X o pewnej długości d możemy mieć pewność, że długość przedziału wartości funkcji nie przekroczy pewnej stałej ustalonej liczby? Takie D nie zawsze musi istnieć, nawet jeżeli zbiór jest liniowo uporządkowany i ograniczony z dołu to nie musi mieć elementu najmniejszego (przykładowo niech mi ktoś wskaże najmniejszą liczbę rzeczywistą dodatnią). Jeżeli takie D istnieje to funkcję nazywamy JEDNOSTAJNIE CIĄGŁĄ.
Każda funkcja, jednostajnie ciągła, jest ciągła w zwykłym sensie, ale nie każda funkcja ciągła w zwykłym sensie musi być jednostajnie ciągła

Powyżej gdzie była funkcja 1/x i związek (*) to widać, że D jest uzależnione od x0, a więc nie spełnia warunków jednostajnej ciągłości. To oczywiście nie jest dowód, że funkcja nie jest jednostajna - to że akurat to D nie spełnia warunków, nie oznacza, że nie istnieje, żadne inne D, które będzie spełniało.

Inny przykład dla zobrazowania jednostajnej ciągłości.
Udowodnimy, że lim przy x->x0 dla funkcji f(x) = 3*x jest równy 3*x0, czyli, że dla dowolnego E mogę dobrać taką deltę, że |3x - 3x0|<E jeżeli tylko |x-x0|<D.

Wystarczy do konkretnego E dobrać D na podstawie D= E/3, bo wtedy:

|x-x0|<D
x0 - E/3 < x0-D < x < x0 + D < x0 + E/3 /* 3
3x0 - E < 3x < 3x0 + E
|3x-3x0|<E

CND.

Faktycznie, weźmy np. punkt x0=2 wtedy granica funkcji równa się 6. Jeżeli np wezmę sobie E=6 to wtedy faktycznie dla D=2 wartości funkcji oscylują w przedziale (0;12) dla x z przedziału (0,4).
Dla E=0,03 i D = 0,01 funkcja dla x z przedziału (1,99 ; 2,01) ma wartości zawarte w przedziale ( 5,97 ; 6,03 )

Jak widać w powyższym przykładzie D zależy TYLKO od E, a nie od punktu x0, dla którego ustalamy ciągłość. Tak więc funkcja jest jednostajnie zbieżna - mamy pewność, że jeżeli x zmienia się w przedziale o szerokości d to f(x) będzie sie zmieniało co najwyżej w przedziale o szerokości 3d.

A wiec wracając do Twojego przykładu, mamy udowodnić, że funkcja nie jest jednostajnie ciągła, a więc, że istnieje takie E, że dla każdego D istnieją takie punkty x1 i x0, ze |x1-x0|<D , ale |f(x1)-f(x0)|>E (prawa deMorgana sie kłaniają). Tutaj znika x, a pojawia x1 bo zaczyna nam chodzić o jakiś konkretny punkt, a nie o bliżej nieokreślony x.
Jeżeli ISTNIEJE E, wiec mogę wsiąść sobie jedno konkretne np. E=1 i teraz dla dowolnego D muszę dobrać dwa punkty x1,x0 takie ze

|x1-x0|<D

ale

|f(x1) - f(x0)|>E

x0 ustalmy dowolne, a x1 zwiążemy zależnością x1=x0+D/2, wtedy faktycznie |x1-x0|=|x0 + D/2 - x0|=|D/2|<D, ale

|f(x1) - f(x0)| = |1/x1 - 1/x0| = |1/[x0+D/2] - 1/x0| =|[ -D/2]/[(x0+D/2)*x0]|

Ale x0 przy ustalonej D możemy wybrać dowolne, a co za tym idzie dowolnie małe, biorąc pod uwagę, że przy x0 dążącym prawostronne do 0 wyrażenie u góry dąży do nieskończoności, to dla pewnych x0 zachodzi [ D/2]/[(x0+D/2)*x0]|>1, a wiec |f(x1)-f(x0)|>1. Oczywiście x0 i x1 zawsze są dodatnie.

Koniec dowodu.

W ogóle ktoś przeczytał ten cały wywód? :/

20.01.2007

18:59

[4]

Raynor [ Big Man ]

Xerces -> Gratuluje chęci pomocy. Jak autor to przeczyta będzie wniebowzięty napewno. :)

20.01.2007

19:05

[5]

Xerces [ A.I. ]

Nie szkodzi, ja bardzo lubie pisac teksty matematyczne dla samej przyjemności :). Tak sobie mysle ze gdyby zbadac pojemnosc wszyskich moich wywodow matematycznych na tym forum, to by juz zebralo sie na prace magisterską. :)

20.01.2007

19:06

[6]

blackhood [ Jedi Knight ]

Też mi szczęka opadła jak to zobaczyłem.

EG2006_43991898 [ Krasnoludki w klatce ]

jakbym jeszcze cos z tego zrozumiał :P

peanut [ kriegsmaschine ]

w zwiazku z tym, ze widze kogos kto skonczyl conajmniej matematyke stosowana, chcialbym rowniez poprosic o drobna pomoc. mam zadanko z analizy, chyba banalne, ale nie jestem pewien co do zapisu rozwiazania. mianowicie:

mamy ciag okreslony rekurencyjnie x(n) dla (n=1,+oo) taki, ze x(n+1)=( 2[x(n)]^2+1 ) / 4 i x(1)=a. zbadaj zbieznosc i znajdz limit ciagu x(n) dla a=0 i a=1. co mozna powiedziec o rezultacie dla dowolnego ' a ' nalezacego do R?

pierwsze co, sprawdzam monotonicznosc ciagu, rosnacy.
pozniej granice gorna (0 zawsze od dolu), no i tutaj zasadniczo nie potrafie zastosowac zadnego twierdzenia. po prostu 'zgaduje' jakas liczbe, ktora moge np. indukcja potwierdzic. jednakze nie potrafie udzielic zadnej sensownej odpowiedzi na tej podsawie, tym bardziej ze jest to wynik odgadniety i nieprecyzyjny. lim zdaje sie ze jest niewiekszy niz (a+1), jednak to tylko moj domysl. jak napisac cos sensownego w takim przypadku?

a09876 [ Chor��y ]

Zła kategoria.

Xerces [ A.I. ]

Nigdy w życiu nie spotkałem się z pojęciem "limit ciągu". Chodzi o granice, kres dolny (górny) wartości ciągu, punkt skupienia? Jakby nie było, łatwo wszystko wywnioskować z rozwiązania poniżej:

To może od początku.

x(n+1)=( 2[x(n)]^2+1 ) / 4

Najpierw monotoniczność ciągu:

x(n+1) - x(n) = ( 2[x(n)]^2+1 ) / 4 - x(n) = ( 2[x(n)]^2 - 4*x(n)+1 ) / 4



Wyrażenie w liczniku jest większe od 0 gdy x(n) należy do przedziału (*) (-oo , 1-1/2*sqrt(2)) u (1+1/2*sqrt(2) , oo), a w przedziale (**) (1-1/2*sqrt(2) ; 1+1/2*sqrt(2)) jest mniejsze od 0. Z tego wynika wniosek, że jeżeli wyraz poprzedni x(n) należy do przedziału (*) to kolejny wyraz będzie większy, jeżeli do (**) to kolejny wyraz będzie mniejszy.

Rozpatrzmy przypadek, że a należy do [0, 1-1/2*sqrt(2) ) Wtedy od x(1) x(n) zaczyna rosnąć, ale pojawia się pytanie czy rośnie na całym przedziale, bowiem jeżeli będzie sobie rosła, rosła i nagle wyskoczy mi wyraz większy od 1-1/2*sqrt(2) to kolejny już będzie mniejszy. A więc musimy się zapytać kiedy przy danym x(n) wyraz x(n+1) < 1-1/2*sqrt(2)

Czyli
( 2[x(n)]^2 +1 ) / 4 < 1-1/2*sqrt(2)
2[x(n)]^2 +1 < 4-2*sqrt(2)
2[x(n)]^2 < 3-2*sqrt(2)
[x(n)]^2 < 3/2-sqrt(2)
x(n)<sqrt[3/2-sqrt(2)]

Czyli jeżeli tylko x(n) jest mniejsze od sqrt[3/2-sqrt(2)] to wiemy, ze kolejny wyraz nie przekroczy 1-1/2*sqrt(2). Teraz zapytajmy się, która z tych dwóch liczb jest większa. Podnosimy stronami do kwadratu

sqrt[3/2-sqrt(2)] 1-1/2*sqrt(2)
3/2-sqrt(2) (1-1/2*sqrt(2))^2
3/2-sqrt(2) 1 + 1/2 - sqrt(2)
3/2-sqrt(2) 3/2 - sqrt(2)

Okazuje się, że te dwie liczby są równe, a więc wiemy, że jeżeli liczba x(n) jest mniejsza od 1-1/2*sqrt(2) to kolejny wyraz x(n+1) jest większy od x(n) i mniejszy od 1-1/2*sqrt(2). A więc ciąg jest wtedy rosnący i ograniczony z góry, a więc na mocy twierdzenia: (którego nie wiem czy chcesz, żebym podawał dowód). Jeżeli ciag jest rosnący (słabo lub silnie) i jest ograniczony z góry to ma skończoną granicę, jeżeli nie jest ograniczony z góry, to dąży do nieskończoności.

Nasz ciąg spełnia warunki twierdzenia czyli istnieje skończona granica x(n) = x(n+1)=c

Ciąg x(n+1) i x(n) ma te samą granicę bowiem różnią tylko wskaźnikiem oznaczania wyrazów.
Wiec jeżeli w równości x(n+1)=( 2[x(n)]^2+1 ) / 4 przejdziemy pod znak granicy dostaniemy

c=( 2c^2+1 ) / 4

I tak jak poprzednio zgodnie z tym czego byśmy oczekiwali od intuicji dostaniemy
c = 1-1/2*sqrt(2) lub c=1+1/2*sqrt(2)

Wybieramy te pierwszą bowiem nasze wyrazy zawsze są mniejsze od 1-1/2*sqrt(2) i w takim razie c=1+1/2*sqrt(2) nie może być granicą.

Jeżeli a należy do (1-1/2*sqrt(2) ; 1+1/2*sqrt(2)) to analogicznie jak poprzednio, wnioskujemy, że będzie maleć i będzie ograniczony z dołu przez 1-1/2*sqrt(2). Spełnia więc założenia twierdzenia: Jeżeli ciąg jest malejący (silnie lub słabo) i ograniczony z dołu to ma granicę skończoną, a więc ciąg ma granicę c. Wyliczając ją tak jak poprzednio dochodzimy do wniosku, że tą granicą także musi być 1-1/2*sqrt(2).

Jeżeli a > 1+1/2*sqrt(2)
To ciąg jest rosnący i nieograniczony bowiem ciąg różnic ( 2[x(n)]^2 - 4*x(n)+1 ) / 4 także rośnie dla coraz większych x(n) z tego przedziału. A więc ciąg jest rosnący i nieograniczony z góry, a więc jest rozbieżny do nieskończoności. Jeżeli a= 1-1/2*sqrt(2 ) lub a=1+1/2*sqrt(2) to ciąg jest stały, a więc zbieżny kolejno do a= 1-1/2*sqrt(2 ) i a=1+1/2*sqrt(2).

Czyli dla a należącego do [ 0 ; 1+1/2*sqrt(2)) granica wynosi 1-1/2sqrt(2) dla a = 1+1/2*sqrt(2) granica wynosi 1+1/2sqrt(2) a dla a>1+1/2*sqrt(2) granica wynosi nieskończoność

Dla a ujemnych zostawię już dla treningu Tobie, ale warto zauważyć, że ujemny będzie tylko pierwszy wyraz, wystarczy więc odpowiedzieć na pytanie, dla jakich a ujemnych drugi wyraz będzie należał do przedziałów które już wyliczyliśmy.

PS. Nie skończyłem matematyki stosowanej, ale dziękuje za niezamierzony komplement. Kiedyś miałem na celu doktorat z matematyki, ale doszedłem do wniosku ze jestem na to za mało bystry. Niemniej jednak dzięki za uznanie.

Grabixon1987 [ Pretorianin ]

Wielki dzięki za dowód, chociaż i tak z niego nic nie rozumiem (student pierwszego semestru matematyki)

Mialem na zajęciach podany jeden przykład dokładnie dla f(x)= x^2 i tego samego dnia kolokwium na ktorym jedno z wielu zadan bylo wlasnie to co w pierwszym poscie, bardziej zalezalo mi na jakims jednym, prostym dowodzie który załatwia sprawe, ale i tak wielkie podziekowania dla Xerces

Xerces [ A.I. ]

Alez wlasciwy dowod to ostatnia 1/5 mojego posta. Reszta to wytlumaczenie teorii. Jezeli jestes studentem matematyki to powinienes przywyknąc do tego formalizmu...

BTW. Ja jestem na V semestrze matematyki. Witam w klubie.

Xerces [ A.I. ]

f(x)= x^2

Te funkcje robimy analogicznie. Ona nie jest jednostajnie ciągła. Czyli istnieje E gdzie dla każdej D moge dobrac odpowiedne x0 x1 takie że |x1-x0|<D/2, ale |f(x1)-f(x0)|>E

Jeżeli istnieje E więc moge sobię ustalić dowolny np. 1. Wtedy dla dowolnego D wybieram dwa punkty - x0 i x1 związany z x0 zależnością x1=x0+D/2.

Wtedy |x1-x0|=|x0 + D/2 - x0| = |D/2|<D

ale

|f(x1)-f(x0)| = |f(x0+D/2)-f(x0)| = |(x0+D/2)^2 - x0^2| = |D*x0 + D^2/4|

Ale x0 mogę dobrać dowolne duże, a ponieważ wyrażenie pod modułem dąży do nieskończoności przy x0 dążacym do nieskończonsci, więc mogę zawsze dobrać takie x0, że |f(x1)-f(x0)|>1

Proponuje narysować to sobie graficznie.

R• D• S [ Junior ]

Xerces --> masz GG? Widzę że nieźle rozumiesz matmę, a mógłbyś czasem pomóc :)