matematyka - pochodna funkcji w punkcie

Xerces [ A.I. ]

Tu sie pojawia pierwsza wątpliwość... Czy moge napisać, że 0*sin(pi/0)=0???

Nie. Chociaż w tym wypadu rozwiązując zadanie ze wzoru to faktycznie sprowadzi się to do f(0)=0.
Treść zadania jest niepełna. To już nie jest szkoła tylko studia i miło by było, gdyby autor nie pomijał dziedziny danej funkcji, która jest pojęciem nierozerwalnym z samym wzorem. Najpewniej przyjęto ustawienia "domyślne" czyli w.w. funkcje określono dla R\‹0›, a f(0) mamy sami sobie ustalić tak aby zapewnić "ciągłość" (warunek konieczny) do istnienia pochodnej funkcji w tym punkcie. Tyle z punktu widzenia formalnego jeżeli nie ma o tym ani słowa to funkcja w 0 jest nieokreślona, a co za tym idzie nie ma tam pochodnej.
Przechodząc do konkretów. Chcemy zapewnić ciągłość w f(0) a więc liczymy granice
lim (x->0+) x sin (pi/x),

którą można wyrazić w języku ciągów:

lim (n -> niesk) (1/n)*sin (n*pi)

Iloczyn ciągu zbieżnego do 0 (tutaj 1/n) i ciągu ograniczonego (|sin n*pi| <= 1) da zawsze ciąg zbieżny do 0.
Wyjściowa funkcja jest parzysta, a więc granica lewostronna będzie równa prawostronnej, czyli ostatecznie:

lim (x->0+) x sin (pi/x) = 0

Więc przyjmujemy f(0)=0 zapewniając ciągłość wyjściowej funkcji w punkcie 0.

Teraz liczymy pochodną funkcji w punkcie:

f'(0)=lim(dx--->0) [f(dx) - f(0)]/dx = lim(dx--->0) [dx sin (pi/dx) - 0 ]/dx = lim(dx--->0) sin (pi/dx).

Te granicę można znowu wyrazić w języku ciągów.

Granica prawostronna:

lim(n--->niesk) sin (n * pi) ------- nie istnieje

Granica lewostronna:

lim(n--->-niesk) sin(n * pi) ---------- nie istnieje

Co jest zgodne intuicją patrząc na wykres tej funkcji. Wykres funkcji sin (a/x) jest podobny do sin x tyle, ze tutaj im bliżej zera tym szerokość jednej amplitudy dąży do 0. Efekt jest taki że w każdym przedziale dla e>0 (0,e) istnieje nieskończenie wiele amplitud o rozpiętości 2 i w efekcie wykres nigdy nie dojedzie do osi Oy ( ta funkcja nie ma nawet granicy w 0). Jeżeli przed wzór dorzuci się jeszcze malejący do 0 x czyli x sin (a/x) to, wysokości kolejnych amplitud będą maleć do 0 wraz ze zbliżaniem się do 0. Trochę wyobraźni i od razu widać, że taka funkcja w punkcie 0 nie ma żądnego konkretnego "kierunku" (pochodnej).

Jeżeli masz jakieś pytania, to na GG. Na GOL-u ostatnio mnie prawie nie ma.

Loczek [ El Loco Boracho ]

ło dzieki :D

Co do Twoich pierwszych uwag to moja wina, bo uprościłem pytanie nie uwzgledniając całej treści zadania, która brzmiała:

"Określ funkcje f(x)=xsin(pi/x) w punkcie x0=0 tak aby była ona ciągła".


Tak czy tak dzieki za odp. już wiem na czym to polega :)

pozdrawiam