Nierówności trygonometryczne - kto to wymyślił?!?

techi [ Dębowy Przyjaciel Żubra ]

Bądź tak miły i napisz jeszcze raz;)

Milka^_^ [ Zjem ci chleb ]

Sprowadź sobie wszystko do jednej f. tryg.
Teraz podstaw zmienną pomocniczą.
Rozwiąż równanie.

Dark Templar [ Pretorianin ]

Sorka coś zżarło znaki...

ctgx+tgx<(4* pierwiastek z 3)/3
cosx + tgx mniejsze bądź równe 1 + sinx
sinx + cosx < pierwiastek z 2

Maliniarz [ The Watcher ]

ADEK24 -> a mnie uczyli, ze (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b. No ale widac jakos slabo doedukowany jestem i od tego czasu duzo sie w matematyce pozmienialo...

Dark Templar [ Pretorianin ]

up

07.10.2006

16:40

[8]

Andre770 [ Koniokwiciur ]

Ja chodze do 1 gimnazjum. Troche to dziwne. A po co to komu???

Xerces [ A.I. ]

Ale mam zacme dzisiaj, myslalem ze post 1 i 8 jest tego samego autorstwa i pol godziny zalatywalem w glowe, jak w gimnzajum 1 klasa mozna miec takie zadania. Odpowiadam niezbyt dokladnie i byc moze gdzies z bledem, bo mi sie spieszy tak wiec badz czujny.


1. Zamieniasz ctg x na 1/tg x


ctgx+tgx<(4* sqrt3)/3
1/tgx+tgx<(4* sqrt3)/3

wymnazasz stronami przez tg x czyli juz musisz rozbic na dwa warunki ze tg x > 0 wtedy znak nierownosci pozostaje ten sam i na tg x< 0 wtedy znak nierownosci zmieniasz na przeciwny. Podstawiesz za tg x = t i dostajesz rownanie kwadratowe. Rzowiązujesz je, wyliczasz t, potem x z rowaniania tg x = t, i sprawdzasz z zalozeniami. Potem drugi przypadek

2. cosx + tgx <= 1 + sinx

zamieniasz tg x na six / cos x i tak w zadaniu powyzej mnozysz cala nierownosc przez cos x znowu rozbijąjąc na dwa przypadki gdy cos x > 0 i cos x < 0. Wezme dla przykladu cos x > 0

cos^2 x + sin x <= cos x + sin x cos x

podstaw sobie sin x = y cos x = z

z^2 + y <= z + zy
z^2 -z + y -zy <= 0
grupujesz wyrazy
z(z-1)-y(z-1) <=0
(z-y)(z-1) <=0

czyli
(cos x - sin x)(cos x - 1) <=0

dla cos x = 1 nierownosc jest prawdziwa, dla wszystkich innych wartosci -1 <= cos x < 1 prawy nawias jest < 0 a wiec lewy nawias musi byc wiekszy lub rowny 0, wiec

cos x => sin x

Wyliczasz x i laczysz z warunkiem początkowym cos x > 0.

Drugi przypadek analogicznie.

3. sinx + cosx < sqrt 2
sinx + sin(pi/2 - x) < sqrt 2

Wzor na sume sinusow

2sin(pi/4)cos(x - pi/4) < sqrt 2
sqrt 2 * cos(x - pi/4) < sqrt 2
cos(x - pi/4) < 1

Co jest zawsze prawdą poza punktami x = pi/4+k*2pi


Andre770 -> Cała elektronika to jedna wielka trygonometria, dzieki temu siedzisz przed komputerem i wylewasz na forum swoje oburzenie na co komu ten chlam.

Sorry za chlodą odpowiedź, ale denerwują mnie tacy jak Ty. Toleruje ludzi, ktorzy matematyki nie rozumięją/nie lubią/nie umieją/ignorują (chyba, ze popadają z tego powodu w samouwielbienie, bo nie umieć matmy jest w Polsce trendi), ale ludzie, którzy podcierają sobie nią 4 litery i jawnie się niej nabiją, przyprawiając całość jakże słynnym polskim cytatem "a na co to komu??" wyprowadzają mnie z równowagi i dodaje ich na prywatną liste "ignore".
Ja nie rozumiem ni w pień biologii, a chemią np. się nie interesuje, ale nie jestem dumny ze swojej niewiedzy, mam szacunek do tych nauk, ludzi którzy się nimi zajmują i nie pytam się na forach na co są one komu potrzebne.

Maliniarz -> a Ty wiesz ze bląd (a + b)^2 = a^2 + b^2 jest bardzo często stosowany przez ludzi? :) Pozdrawiam, dawno nie rozmawialiśmy.

alpha_omega [ Senator ]

No właśnie - jest w Polsce trendi. Gdzie czasy, kiedy Polska była matematyczną potęgą, gdzie czasy szkoły lwowskiej? Ale tak naprawdę to wszystko kwestia podejścia nauczycieli i programu - ci co się nabijają z tej nauki po prostu nie widzą w niej sensu, a sensu nie widzą, bo naukę tę przedstawia się w szkołach jako schemat rozwiązywania abstrakcyjnych i niezwiązanych z życiem problemów. Jeśli jest to schemat to niczego praktycznie nie uczy (a przede wszystkim nie uczy myślenia), jeśli jest niezwiązany z życiem i nie uczy myślenia, to jest absolutnie nieprzydatny. Nie dziwię się takim ludziom, gdyż sam przeżyłem podobny okres olewania i mam to teraz za złe nie tylko sobie, ale przede wszystkim pewnym pedagogom. Wypada im wiedzieć, że w pewnym wieku kłopot nie jest często niemożnością, a przeoczeniem sensu i wystarczyłoby ten sens pokazać, ale i to za wiele dla naszej kadry pseudopedagogów...

Xerces [ A.I. ]

alpha -> prawie calkowicie sie z Tobą zgadzam. Moze trudno w to uwierzyc, ale przez 80% szkoly sredniej też olewałem matematyke i zabrałem się za nią przed maturą. I wtedy odkryłem to piękno, które tak mnie zafascynowalo, ze caly material zrobilem ekspresowo. Może mialem wiecej szczescia niż rozumu. Nie zmienia to jednak faktu, ze jezeli jest jakis czlowiek, ktory nie widzi w tej nauce sensu i jej nie rozumie, to nawet jeżeli nie dzieje się to z jego winny, nie powinien się ani tym obnosic, ani degradowac wartosc tej nauki, bo wedlug mnie z tego ze matematyka jest jedną z kluczowych nauk zdaje sobie sprawe chyba kazdy - nawet ci co nie umieją dobrze mnozyc.

To jest zwykla K_U_L_T_U_R_A
Z resztą nie tylko matematyka podpada pod to co mówię. To się tyczy dużej liczby nauk

I mimo, że powody które podajesz są jak najbardziej prawdziwe, to jednak nie są całkowitym usprawiedliwieniem postawy takich ludzi.

Dark Templar [ Pretorianin ]

No dzisaj się udało - tylko 2 przykładów nie mogę rozwiązać :/ Ale pozostałe 8 jakoś poszło :D
Oto wymienione wyżej sqbańce:

cos4x + 2 coskwadratx większe bądź równe 1

sin do potęgi4 x+ cos do potęgi4 x większe bądź równe 1/2

Jakieś podpowiedzi? Siedzę nad tym od dobrej godziny i ani rusz...

goldenSo [ Ciasteczkowy LorD ]

@alpha_omega
Autenczyczny cytat z lekcji
"-Prosze Pana, a czy to sie nam do czegoś przyda?
- A nie wiem"

Filevandrel [ czlowiek o trudnym nicku ]

Ja jestem zdania, że spora liczba osób nie lubi matematyki, bo nigdy na dobrą sprawę nie próbowała jej polubić. Inaczej byłoby, gdyby musieli się jej uczyć do matury, no ale podziekujmy SLD (nie bijcie jezeli to nie SLD sprawka:P Tak mi sie wydaje ze to oni zrobili) za zniesienie matury z matmy i Romanowi za amnestie:/

09.10.2006

18:56

[15]

daciek [ Pretorianin ]

Ogólnie jestem zdania, że cała trygonometria to szatańska sprawka ;)
Jestem przedostatnim rocznikiem, który nie zdaje matmy na maturze i wydaje mi się, że matma się przyda, bo jest przedmiotem akceptowanym przez wiele uczelni i gdybym się jej uczyła od początku, to pewnie dziś nie musiałabym zastanawiać się, jak się jakimś dziwnym sposobem dostać na psychologię...

09.10.2006

18:58

[16]

Filevandrel [ czlowiek o trudnym nicku ]

daciek- rocznik 88?:) To dopiero zaczęłaś liceum możesz się jeszcze spokojnie nauczyć matematyki na poziom mautralny:)

alpha_omega [ Senator ]

Tak na marginesie - polecam fascynującą stronkę:



Mnóstwo artykułów, wywiadów, wspomnień; nawet e-wersja słynnej Księgi Szkockiej chyba jest.

Voutrin [ Snop dywizora ]

alpha -- o! wielkie dzieki za stronke, nie znalem jej, chetnie sobie "Ksiege ... " przejze. A sam Banach, to inna para kaloszy, to byl geniusz jakich malo...

Ps. Kultowa ta ksiega, i te fajne wstawki " Przypuszczenie Mazura jest prawdziwe... " podpisany Banach,a nizej piekny dowodzik :-)

Xerces [ A.I. ]

1.
cos4x + 2 cos^2 x => 1
cos4x + 2 cos^2 x => sin^2 x + cos^2 x
cos4x + cos^2 x - sin^2 x => 0
cos4x + cos2x => 0


Teraz dwie mozliwosci.

1. Wzor na sume cosinusow

2cos3xcosx => 0

2. Dalsze przeksztalcanie

cos^2 2x - sin^2 2x + cos 2x =>0
cos^2 2x - 1 + cos^2 2x + cos 2x =>0
2cos^2 2x + cos 2x - 1 => 0

co jest nierownoscią kwadratową wzgledem cos 2x

Dalej sobie poradzisz



sin^4 x + cos^4 x => 1/2
(sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2sin^2 x cos^2 x => 1/2
1 - 2sin^2 x cos^2 x => 1/2
-sin^2 x cos^2 x => - 1/4
-sin^2 x (1- sin^2 x) => - 1/4
-sin^2 x + sin^4 x => - 1/4
(sin^2 x - 1/2)^2 =>0

Co jest zawsze prawdą, ponieważ po lewej mamy kwadrat który minimalnie może być rowny 0 (oczywiscie w ciele l.rzeczywistych).

goldenSo ->
Szkoda gadac. Takich cytatów nauczycieli mozna mnozyc setkami.

Filevander ->
no ale podziekujmy SLD(...) za zniesienie matury z matmy i Romanowi za amnestie:

Co jest równoznaczne z jej zniesieniem (a w każdym razie można o wiele bardziej na luzie do niej podejść).
Mam nadzieje ze T.K cofnie te amnestie, chociaż wątpie, że tak będzie. O wiele bardziej prawdopodobne jest to, że gdy Romek wyleci ze stanowiska (o ile rozsypie się sejm), kolejny minister bedzie sprzatal burdel którego narobił.

alpha -> Wracajac do poprzedniego posta

Gdzie czasy, kiedy Polska była matematyczną potęgą, gdzie czasy szkoły lwowskiej?

Moze wydac sie to dziwne, ale jezeli porownywac pod wzgledem zawodowych matematykow (podkreslam ze matematycy w szkolach sa wąskim przedzialem tej grupy zawodowej i to niezbyt blyskotliwym), Polska zajmuje chyba jedno z czołowych miejsc na świecie. Chyba ustepuje jedynie Japonii. Natomiast gdyby porownywac stan wiedzy normalnego spoleczenstwa to wypadamy tragicznie. Tyle ze slyszalem to pare lat temu i to od kogos, wiec nie wiem czy to prawda.


A i jeszcze jedno. Moze wie ktos, kiedy i przez kogo zostala zniesiona matura z matematyki i to pod jakim preteksem? Chyba jeszcze wcześniej niż za AWS?

alpha_omega [ Senator ]

Xerces -----------> Być może, ale geniuszów pokroju Banacha chyba współcześnie nie mamy w tej dziedzinie, przynajmniej ja o nikim takim nie słyszałem.

Voutrin ---------> Sam ją niedawno znalazłem. Co prawda nigdy chyba nie zrozumiem tego czym się zajmowali ludzie tacy jak Banach - bo studiuję na zupełnie nieścisłym kierunku, a do poznania tych teorii musiałbym naprawdę dużo posiedzieć nad matematyką, ale już sama osobowość Banacha i klimat uprawiania matematyki w tamtych czasach i w tym środowisku robią olbrzymie wrażenie, fascynujące osobowości :)

Xerces [ A.I. ]

alpha -> jest sporo wybitnych jednostek, ale faktycznie jeszcze im dużo brakuje do tego, aby kolejne pokolenia wspominaly ich nazwiska.

alpha_omega [ Senator ]

Bardzo interesujące są dla mnie również - nie tylko znajdujące się w wielu miejscach i w szczątkowej postaci na tej stronie, ale i znalezione gdzie indziej (choć też w małym zakresie) rozważania Ulama nad naturą myślenia matematycznego i myślenia w ogóle. Dawno rozmyślałem na ten temat i Ulam ma sporo podobnych spostrzeżeń. Jest to dla mnie tym bardziej istotne, że w hobbystycznym rozważaniu problemów matematycznych najbardziej przeszkadzają mi błędy i chwile, a nawet długie okresy zaćmienia - w takich momentach uważam się za półdebila :) Ale chyba tak być musi, jeśli ktoś zaczyna właściwie od początku i nie nabył wcześniej pewnej intuicyjności, a również precyzji rozumowania objawiającej się w ostrości pojęć. Zresztą ostatnio mam problemy z koncentracją, a jak poświadcza Ulam (i dzieje kilku wybitnych matematyków o których czytałem) skupienie jest elementarną zdolnością w pracy matematycznej, elemntarną jako niezbędną i zarazem bardzo ważną choć podstawową.

Ale wiecie - wydaje mi się, że w pewnym wieku już się nie da nadrobić pewnych rzeczy, nawet przy tych 20-kilku latach. Już się nigdy nie nabędzie tej podskórnej oczywistości i intuicji oraz błyskawiczności podstawowych algorytmów rozumowania.

Voutrin [ Snop dywizora ]

alpha -- ano to prawda, np Gauss slynal z tego, ze w trakcie rozmowy potrafil sie "zawiesic" rozmyslajac nad jakims nowym problemem, by po chwili wrocic do rozmowy. Sztuka jest wlasnie skupic sie na problemie i oderwac nad chwilke od rzeczywistosci.
Wywiad z Ulamem fajowy, szczegolnie moment w ktorym przyznaje ze teorie Einsteina skumal w wieku 12 lat..

A co do samych matematykow, to potrzeba wlasnie kogos takiego jak Banach, wokul takich ludzi tworzy sie ta piekna atmosfera pracy naukowej i to na nich wszystko sie opiera. W USA maja tyle nagrod, bo wlasnie potrafia sciagnac tych najlepszych i na tych najbardziej prestizowych uczelniach wytworzyc ta niesamowita atmosfere wspolpracy jednostek wybitnych.. Obecnie nadal mamy swietnych matematykow,a poziom nauczania akademickiego matematyki jest naprawde wysoki, nie ma jednak co ukrywac, to nie czasy Tarskiego, Banacha, Mazura..

alpha_omega [ Senator ]

Voutrin -----------> No właściwie mówi, że ją na swój młody sposób, w ogólnym rysie rozumiał. W każdym razie ciekawe są rozważania Ulama o dwóch rodzajach pamięci - już parę lat temu zauważyłem, bo nie było to u mnie do końca naturalne - że rozumowanie na obrazach jest błyskawiczne. Sama mnemotechnika itp. była u mnie naturalna od dość wczesnych lat, ale była zarazem głównie werbalna. Ulam się przedstawia jako osoba z pamięcią wybitnie obrazową, wzrokową; w innym artykule w tym głownie widzi geniusz Banacha.

Tak jest istotnie, chociażby kombinacje bez powtórzeń. Jeśli wyobrażamy sobie to jako graf tj. np. jako różnokolorowe kulki stojące w kolumnie, od każdej odchodzącą kolejną kolumnę (już bez kulki o kolorze jaki miała pierwsza) to nasze zdolności analityczne są tutaj olbrzymie. Problemem jest jednak wytowrzenie takiego wyobrażenia, które zachowuje pełną dogodność schematu tj. umożliwia analizę wszystkich właściwości przy zachowaniu prostoty jaką daje schemat;wysiłkiem i trudnością jest również wypracowanie algorytmów poruszania się po schemacie w sposób błyskawiczny, co wymaga praktyki, praktyki i jeszcze raz praktyki.

Gdy np. słyszę, że mamy np. jakąś całość podzielić przez 4/3 - a czasami zastanawiam się nad tak elementarnymi sprawami - i wiem, że jest to równoznaczne z przemnożeniem przez 3/4, a więc pomnożeniem przez 3 i podzieleniem przez 4 (i pytam dlaczego), to widzę to tak:

mamy trzy całości w postaci słupków, musimy uzyskać czwarty słupek, z kazdego zatem bierzemy po jednej równej cząstce tak, ażeby nowo utworzony z tych cząstek słupek był równy każdemu z trzech z których po tej cząstce zabraliśmy. A więc każdy z nich stracił jedną taką cząstkę, a nowo-utworzony ma tych cząstek 3 i jest równy pozostałym słupkom. Tak więc każdy z tych słupków stanowi teraz 3/4 (bo zabraliśmy po jednym, a mamy 3 cząstki obecnie) słupków wyjściowych z których każdy stanowił całość wyjściową. Wiem, że głupio jest rozważać oczywistości, ale ja tych oczywistości nie mam i muszę widzieć, nie mogę po prostu wiedzieć, że podzielić przez 4/3 to pomnożyc przez odwrotność. Widząc takie operacje robi się to z pełnym rozumieniem, ćwicząc to, robi się to z pełnym rozumieniem i błyskawicznie. Nawet już z samego początku wyobrażeniowe rozumowanie jest dużo szybsze niż językowe, jest w porównaniu z nim z miejsca błyskawiczne.

Xerces [ A.I. ]

Trochę nie na temat.

alpha -> ja też staram się wizualizować, ale wszystko ma swoje granice - moja wyobraźnia też. Dlatego chcąc niechcąc muszę czasami zostawiać uwielbiany przeze mnie intuicjonizm i stosować formalizm (który tez bardzo lubię, bo czasami potrafi być niezłą łamigłówką). A na im wyższym poziomie operuje, tym częściej to niestety robię. Jednak pocieszający jest fakt, że gdy formalizujesz rzeczy bardzo trudne, to rzeczy trudne po pewnym czasie stają się dla Ciebie intuicyjne i uderzasz się w głowę jak mogłeś czegoś wcześniej nie widzieć. Wydaje mi się, że wynika to stąd, że często nie możemy "przyrównać" pojęć z czymś co już wiemy.
Np. w szkole podstawowej. Załóżmy, że dziecko nie zna liczb niewymiernych. Ono nie zrozumie definicji liczby wymiernej, ze jest to liczba "którą można zapisać w postaci p/q gdzie p i q są całkowite i q różne od 0", bo dla niego ta definicja jest pozbawiona sensu z tego powodu, że on żadnych innych liczb nie zna. Równie dobrze można powiedzieć: "liczy wymierne to wszystkie jakie znasz". Wyjdzie na to samo. Natomiast definiowanie liczb wymiernych tak jak powyżej spowoduje u dzieciaka ogłupienie i intuicyjne pytanie "Na co to?". Powyższą definicje można wprowadzić gdy ktoś już zna pojęcie liczby niewymiernej.
Identycznie ma się sprawa z kimś kto się uczy liczyć do 9. Pamiętam na własnej skórze jak czytając jakąś książkę do podstawówki w bardzo młodym wieku, nie potrafiłem zrozumieć czym się różni pojęcie "liczba" od "cyfra" bo znałem tylko liczby jednocyfrowe i z mojego punktu widzenia był to ten sam obiekt i nie widziałem potrzeby rozdzielania tych pojęć.

Tak więc myślę, że sporo rzeczy które znamy tylko za pomocą formalizmu, możemy przenieść na poziom intuicji, ale tylko wtedy gdy formalizujemy i poznajemy coraz trudniejsze zagadnienia.

Gdy np. słyszę, że mamy np. jakąś całość podzielić przez 4/3 - a czasami zastanawiam się nad tak elementarnymi sprawami - i wiem, że jest to równoznaczne z przemnożeniem przez 3/4, a więc pomnożeniem przez 3 i podzieleniem przez 4 (i pytam dlaczego)

To faktycznie każdy robi na poziomie intuicji, ale mało kto pyta się dlaczego tak jest. Dlaczego dzielenie przez jakąś liczbę jest równoważne z pomnożeniem przez odwrotność. Oczywiście można stosować metodę wyobrażeniową, ale jeżeli interesuje Cię formalna...

Istnieją 4 aksjomaty co do mnożenia liczb wymiernych. Dla dowolnych liczb wymiernych a,b,c:
I. a*b=b*a (przemienność)
II. (a*b)*c=a*(b*c) (łączność)

Specjalna własność jedynki

III. a*1=a (liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia)
IV. Dla każdego elementu a różnego od 0 istnieje element odwrotny 1/a, który ma właściwość a*1/a = 1

*

Na tak określonym zbiorze możemy zdefiniować dzielenie. Mianowicie "Liczba a jest podzielna przez b wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taka liczba c (wynik dzielenia), ze c*b=a. Z aksjomatu I wynika od razu, że b*c=a. Jako ciekawostkę dodam, że właśnie z tej defincji wynika, że nie można dzielić przez 0 ponieważ wtedy dla a musiałaby istnieć liczba c taka że

c*0=a

Co jest niemożliwe **

Czyli, aby obliczyć wynik a:b wystarczy znaleźć rozwiązanie równania c*b=a dla każdego a i b, a następnie udowodnić, że takie rozwiązanie jest jednoznaczne. Tzn. możemy zdefiniować liczbę c, jako c= a*(1/b) (czyli c jest równe iloczynowi liczby a i elementu odwrotnego do b) i sprawdzić czy takie określenie spełnia nasze warunki. Oczywiście taka liczba c zawsze istnieje.
Sprawdźmy czy tak zdefiniowane c spełnia równania c*b=a

c*b [z założenia]= (a*(1/b))*b = [z aksjomatu II] a*((1/b)*b) = [z aksjomatu I] a*(b*(1/b) )= [z aksjomatu IV] a*1 = [z aksjomatu III] = a

czyli

c*b=a

Teraz sprawdźmy czy tak określona liczba c jest jedyną o takiej właściwości. Czyli załóżmy, że istnieje inna liczba c' o właściwości c'*b=a. Czyli zakładam, że zachodzi równość c'*b=a. Jeżeli pomnożę te równość stronami przez 1/b to dostane (lewa strona)

(c'*b)*(1/b) =[z aksjomatu II] c'*(b*(1/b)) = [z aksjomatu IV] c'*1 = [z aksjomatu III] c'

co jest równe prawej stronie a*(1/b). Czyli c' = a*(1/b)

ale wiemy, że a*(1/b) = c

czyli

c'=c

więc jest to ta sama liczba.

Podsumowując. Wiemy, że wynikiem dzielenia a:b jest liczba c dla której jest prawdziwe równanie c*b=a. Liczba c=a*(1/b) spełnia te równanie i jest wyznaczona jednoznacznie. A więc liczba a*(1/b) jest wynikiem działania a:b czyli możemy zapisać równość

a:b = a*(1/b)

z czego wynika nasze oczywiste prawo.

* Prościej powiedzieć, że zbiór liczb wymiernych/‹0› jest grupą abelową ze względu na mnożenie co od razu wyznacza te 4 aksjomaty, ale już zboczyłbym na algebrę abstrakcyjną.

** Oczywiście można dyskutować co by było gdyby a=0 i zapytać czy 0 nie można dzielić przez 0, a wynikiem c byłaby każda liczba rzeczywista. Otóż jest to fałsz bo jest to sprzeczne z definicją "działania"(znowu algebra abstrakcyjna), które jest niczym innym jak funkcją. Funkcja może dla konkretnego argumentu mieć tylko jedna wartość, a więc wynik każdego działania musi być jednoznaczny.