--> Archiwum Forum
Arcy Hp [ Legend ]
Proszę o pomoc z zadaniem maturalnym!
Dane jest równanie postaci
(cosx - 1) * (cosx +p +1)=0
Gdzie p e R jest parametrem.
a) Dla p=-1 Wypisz wszystkie rozw. tego równania należącec do przedziłu <0,5>
b)Wyznacz wszystkie wartości parametru p , dla których dane równanie ma w przedziale (-pi,pi) , trzy różne rozwiązania.
Proszę o wytłumaczenie mi tego zadania.
Pozdrawiam!
Arcy Hp [ Legend ]
Proszę Was o pomoc!
Podstawiłem za p , wyszło mi że cosx=0 lub cosx=1
ale co dalej?
nagytow [ Firestarter ]
Musisz sprawdzic, dla jakich wartosci x z przedzialu <0,5> (dziwny przedzial wg mnie) cosx=0 lub cosx=1.
Arcy Hp [ Legend ]
No własnie nie rozumiem tego przedziału! O co w tym chodzi? Max wart. funkcji cos to 1 ...
Milka^_^ [ Zjem ci chleb ]
Max wart. funkcji cos to 1 ...
A cosx - 100? To jaki to ma przedział? To jest wykres fukncji przesunięty o 100 w dół czyli przedział <-99;-101> Jeżeli chodzi o zbiór wartości.
Dlatego masz tam przedział <0;5>.
Właśnie. Nie napisałeś, że to chodzi o dziedzinę.
nagytow [ Firestarter ]
Przedzial jest dla x (argument), nie dla cosx (wartosc).
cosx=1 dla x=0, x=2*Pi itd, ale 2*Pi to juz jest wiecej niz 5, wiec tylko x=0;
cosx=0 dla x=Pi/2, x=(3/2)*Pi, x=(5/2)*Pi, ale (5/2)*Pi to wiecej niz 5, wiec masz dwa rozwiazania: x=Pi/2 i x=(3/2)*Pi.
Ogolnie masz 3 rozwiazania: x=0, x=Pi/2, x=(3/2)*Pi.
Edit. Przeczytalem dokladnie tresc i faktycznie wyglada jakby chodzilo o przedzial dla cosx, ale to glupie, bo rozwiazaniem rownania jest taki argument x, dla ktorego rownanie to przyjmuje wartosc 0, czyli, przykladowo jesli dla x=3 rownanie by przyjelo wartosc 5, to x=3 nie moze byc jego rozwiazaniem.
Hal00n [ Legionista ]
Sprawdzam czy mam jeszcze bana
Hal00n [ Legionista ]
Nie mam!! Po dwoch latach!! Tylko mnie nie wykapujcie przed Soulem prosze.
Milka^_^ [ Zjem ci chleb ]
Pierwsza połowa
Wo_Ja_Ann [ Konsul ]
A nie ma klucza odpowiedzi?
Arcy Hp [ Legend ]
Klucz jest ale to jest taki dla egzaminatorów i mało w nim jest wyjaśnień.
Milka^_^ [ Zjem ci chleb ]
A tu jest druga połowa pukntu A. Masz tam 3 rozwiązania. Co do B, to próbowa zmienną zastosować - cosx = t. I wtedy mamyrównanie kwadratowe. A jak zrobić, żeby miało 3 różne rozwiązania? Tutaj jest większy problem, bo f. kwadratowa ma 2 rozwiązania. Więc bym próbował metodą prób i błędów. Zrobiłbym równanie: (t - 1)*(t +p+1)=0, dla 3 wariantów:
- 1 pierwiastek podówjny
- 2 różne
- żadnych.
Wyznaczyć parametry. I wtedy bym zobaczył po podstawieniu cosx = t ile takie rówanie ma rozwiązań w przedziale <-pi;pi>
Pozatym pokaż ten klucz to może zrozumiem jak to zrobić i będę w stanie ci to wytłumaczyć.
Arcy Hp [ Legend ]
Ok a jak udowodnić to indukcja mat. ?
dla n>= 5 spełiona jest nierówność
2^n>n^2+n-1
Podstawiam jak przy indukcji na początku czy dla n=5 jest to nierównośc prawdziwa i wychodzi że tak, potem robie założenie i teze że 2^k+1>(k+1)^2+(k+1)-1
ale co dalej?
Milka^_^ [ Zjem ci chleb ]
Z tego dobry nie jestem, ale musisz zrobić, żeby lewa strona równała się prawej. I nie masz k+1 tylko n+1.
Arcy Hp [ Legend ]
Tyle też wiem , po prostu wysiadam w jednym miejscu , nie mam jak podstawiać przy równaniach , bo jest nierównośc i to mnei kończy ;/
sapri [ ]
Musisz rozwiązać nierówność wykładniczą:
2^k - 3k - 1 > 0
nagytow [ Firestarter ]
Sam dowod indukcji:
2^(n+1) > (n+1)^2+(n+1)-1
2*2^n > n^2+2n+1+n
2^n+2^n > n^2+n+1+2n
To, ze warunek zachodzi dla podkreslonej czesci wynika z zalozenia indukcyjnego, zostaje wiec do pokazania, ze:
2^n > 2n
co jest chyba oczywiste i banalne do zrobienia.
Milka^_^ [ Zjem ci chleb ]
Sorry, źle napisałem. Masz jeszcze jakieś zadanie?
sapri [ ]
nagytow -> O! Nie zauważyłem :)
Milka -> Jest dobrze.
No :P
Xerces [ A.I. ]
W punkcie b robisz takie podstawienie jak zrobil Milka. Dostajesz rownanie kwadratowe, z jakims parametrem p. Jakiekolwiek te rownienie nie bedzie mialo rozwiazanie, to bedziesz musial potem zrobic przyrownanie cos x = t w przedziale (-pi;pi) aby wyznaczyc x. Narysuj sobie ten cosinusoidowy "wąs" w tym przedziale. Widzisz, ze jest symetryczny wzgledem osi OY. Graficznie zagadnie rozwiązania objawia sie tym, ze jak juz wyliczysz z tego rownania kwadratowego t to wtedy na rysunku bedziesz musial poprowadzic prostą y=t i zbadać w ilu punktach przetnie ten kawalek cosinusoidy, co bedzie rozwiązaniem zagadnienia cos x = t.
A wiec chcesz aby byly trzy punkty przecicienia. Nie trudno wpasc na to, ze aby byly dokladnie trzy punkty przeciecia to musisz poprowadzic dwie proste poziome i jedna z nich musi miec rownanie t=1, a druga musi byc w przedziale -1<= t < 1. Innego ulozenia dwoch prstych tak aby przeciely ten wycinek cosinusoidy w trzech punktach nie ma.
Z samej postaci rowanania
(t - 1)*(t +p+1)=0
widac ze t=1 bedzie zawsze rozwiazaniem niezaleznie od wartosci p. Sprawdzmy.
Wymnazamy
t^2 + tp - p - 1 = 0
delta = p^2 + 4p + 4 = (p+2)^2
Jest zawsze dodatnia poza punktem p= -2
t1 = (-p + |p+2|)/2
t2 = (-p - |p+2|)/2
dla p>-2 t1 jest zawsze rowne 1, a dla p<-2 t2 jest zawsze rowne 1.
Wiec dla p>-2 stawiasz warunek aby -1<=t2< 1, a dla p<-2 aby -1<= t1 < 1.
Dalej już tylko rachunki.
Indukcja
2^(n+1) = 2^n*2 > z zalozenia 2*(n^2+n-1) = 2*n^2 +2n -2 > n^2 + 3n -2 =
= (n+1)^2 +n - 1 - 2 = (n+1)^2 +n - 3 > (n+1)^2 + n
C.N.D
Poza tym, nie skad wpadl Wam do glowy pomysl, ze w tresci zadania chodzi o cos x , a nie o x
Milka -> dostales sie na studia? Bo nie odpowiedziales wtedy :)
Arcy Hp [ Legend ]
nagytow ---> ok , ale skąd Ci sie bierze w 3 linijce po lewej stronie dwa razy 2^n skoror w drugiej linijce massz 2*2^n?
Milka^_^ [ Zjem ci chleb ]
Xerces => Tak, jestem na ekonomii w Rzeszowie. I mam matmę :P I ten twój artykół też sobie wezmę bo może mi się przydać :)
Arcy Hp [ Legend ]
Xerces skąd się bierze to
z zalozenia 2*(n^2+n-1) ?
Lewa strona jest oczywista , ale prawa ?
Nie powinno być (n+1)^2 +n+1-1 ?
O jakie Ci tutaj zał. chodzi?
Xerces [ A.I. ]
Z zalozenia 2^n>n^2+n-1 czyz nie?
wiec 2*2^n > 2*(n^2+n-1)
Milka -> no to gratuluje :). I gdybys kiedys przeczytal ten artykul, to wyslij do mnie opinie na jego temat:). Albo na GG albo na tamten watek :).
Arcy Hp [ Legend ]
Hm ale czy do prawej strony nie podstawiamy (n+1)^2+n+1-1 ?
Arcy Hp [ Legend ]
Już rozumiem Xerces! Dziękuje!!!! :))))
Milka^_^ [ Zjem ci chleb ]
Ale ortografa walnąłem :/
Xerces => Zadania czytałem, artykuł jeszcze zdąże przeczytać i mam nadzieję, że napiszesz ich więcej, bo chcą czy nie jesteś tutaj najlepszym matemtykiem, wręcz matematycznym autorytetem. A opinię Ci prześlę na pewno.
Xerces [ A.I. ]
Posluchaj wiesz ze 2^n>n^2+n-1
i masz udowodnic ze 2^(n+1)>(n+1)^2+n+1-1
i mozesz to robic jak Ci sie zywnie podoba. Mozesz te nierownosc w kolejnych linikach modyfikowac stronami jak nagytow, albo robic tak jak ja, czyli stawiajac kolejne wyrazenia dojsc do
2^(n+1) >x>y=z=c=v>b>d=(n+1)^2+n
Grunt ze jak to wszystko przeksztalcam to dane wyraznie zmniejszam lub stawiam znak rownosci. I tyle.
Arcy HP - prosze bardzo :). Mam nadzieje ze kiedys sie jeszcze przydam, choc na GOL-u ostatnio rzadko jestem :).
Milka -> dzieki :) Nie wiem czy to prawda, czy nie, moze sa lepsi ode mnie, ale sie nie odzywaja. W kazdym razie milo ze tak uwazasz.
Powodzenia na studiach :)
PS. A co sadzisz jak na razie o samych zadaniach? (latwe/srednie/trudne)
Milka^_^ [ Zjem ci chleb ]
X => O zadaniach? No coż chciałem to już tam napisać: "każda liczba jest podzielna przez każdą" Ja bym tam dodał, że chodzi o całkowite/naturalne dzielniki albo coś w stylu "żeby było podzielne bez reszty" A komentarz do zadań postaram ci podesłać razem z opinią. Postaram się to zrobić jeszcze w tym łikendzie. Nawet może upnę tamten wątek (bo nie widze ani GG, ani miala) Póki co trzeba na infę się uczyć komend do dosa.
Xerces [ A.I. ]
Zaktualizowalem dane, juz powinien byc (wiec mozesz dac opinie gdzie chcesz). Pewnie kiedys wywalilem nr GG z przyplywie zlego humoru :).Co do artykulu to jeszcze bede musial zmienic wytlumaczenie algorytmu Euklidesa, bo na razie jest tam maslo maslane i machanie rekoma.
Xerces [ A.I. ]
A patrz, a jednak jest blad w tej indukcji.
(n+1)^2 +n - 3 > (n+1)^2 + n
jest to oczywiscie falsz, ale mozna to latwo naprawic. Wlepiam caly ciag jeszcze raz
2^(n+1) = 2^n*2 > z zalozenia 2*(n^2+n-1) = 2*n^2 +2n -2 > n^2 + 4n -2 =
= (n+1)^2 + 2n - 1 - 2 = (n+1)^2 + 2n - 3 > (n+1)^2 + n
teraz dobrze
nagytow [ Firestarter ]
Widze, ze juz nie trzeba, ale co tam.
nagytow ---> ok , ale skąd Ci sie bierze w 3 linijce po lewej stronie dwa razy 2^n skoror w drugiej linijce massz 2*2^n?
Bierze sie stad co tu: 2*5 = 5+5 :)