--> Archiwum Forum
Xerces [ A.I. ]
Matematyka - test z teorii liczb i ocena artykułu
Witam. Napisałem pewien artykuł na temat elementów teorii liczb naturalnych. Chciałbym zebrać opinie na temat jego użyteczności. Na początku sugerowałbym rozwiązanie testu, wielokrotnego wyboru, następnie zapoznanie się z tym artykułem (z góry ostrzegam, że jest dość opasły), a następnie ponownie spróbować rozwiązać ten ten test. Z góry mówię, że podejście jest zupełnie inne niż w szkole - wszystko opiera się na zrozumieniu i myśleniu, tak więc w tym artykule nie ma gotowych schematów na gotowe pytania, ale mam nadzieje, że choć trochę wskazuje jak podejść do problemów. Poza tym można się z niego trochę dowiedzieć np. cechy podzielności przez 7,8,11,13, które mało kto zna lub zapoznać się dlaczego z teoretycznego punktu widzenia liczba jest podzielna przez trzy jeżeli suma jej cyfr także. Prosiłbym o komentarze na temat tego co przeczytaliście, czy pomogło wam to w teście, rozjaśniło parę spraw, czy tekst jest nie zrozumiały, czy są zbyt duże skoki myślowe, czy może zbytnio się rozdrabniam, czy moze test ma sie nijak do tego co napisane jest w artykule, co się podoba, a co nie itd. Zaznaczam, że mogą trafiać się literówki.
Myślę, że teoria liczb jest ciekawa, w każdym razie co na forum pojawiło się jakieś elementarne działanie to zaraz cała masa postów. Zapraszam każdego do główkowania, tych co nie potrafią matematyki (czy jak się nazywają humanistów ;) ) szczególnie - mam nadzieje, że dojdą do wniosku, że nie jest taka straszna.
Co do testu to jest wielokrotnego wyboru. Za cztery poprawne odpowiedzi w danym punkcie dostaje się 100 pkt, za trzy poprawne 10pkt, za dwie poprawne 1pkt, i za 1 lub 0 0pkt (taka punktacja eliminuje czynnik strzelania). Z góry mówię, że test jest trudny, a ktoś kto za pierwszym podejściem zdobędzie 1000pkt, jest bardzo dobry. Można się chwalić wynikami tylko jeżeli już to robicie to zaznaczcie czy zapoznaliście się z tekstem czy nie. Odpowiedzi są na końcu artykułu łącznie z wyjaśnieniami dlaczego odpowiedź jest taka, a nie inna. Komentarze można dawać tutaj lub wysłać na maila (podany na końcu tekstu). Z góry dzięki za współpracę, chociaż wątpię, żeby komuś się chciało w wakacje.
Link
www.latwamatematyka.host.sk/LNaturalne.pdf
TEST
^ - potega
=> - wieksze, rowne
1. Liczba ab672 gdzie cyfry a,b mają taką właściwość, że a + b = 6, jest podzielna przez
a) 2
b) 3
c) 5
d) 9
2. Każda liczb naturalna dodatnia podzielna przez liczbę 15 ma:
a) nieparzystą cyfrę jedności
b) nieparzystą cyfrę dziesiątek
c) sumę cyfr podzielną przez 3
d) sumę cyfr podzielną przez 5
3. Liczba n jest podzielna przez 14. Czy z tego wynika, że
a) n jest podzielne przez 2
b) n jest podzielne przez 28
c) n jest podzielne przez 7
d) n jest podzielne przez 4
4. Liczba ab552, gdzie cyfry a,b mają taką właściwość, że a-b = -2 jest podzielna przez
a) 2
b) 4
c) 11
d) 88
5. Liczba 2*2*7*11*19*a*b*c*d gdzie a,b,c,d to dowolne liczby, jest zawsze podzielna przez
a) 7
b) 77
c) 8
d) 22
6. Liczba n jest podzielna przez 308, czy stąd wynika, że jest podzielna przez
a) 154
b) 44
c) 28
d) 88
7. Niech n jest liczbą naturalną dodatnią. Czy dla każdego n:
a) NWD (n , n+1) = 1
b) NWW (n , n+1) = n(n+1)
c) NWD (n^2 + n, 2n) => 2
d) NWD ( n^2 + n, n+1) = n
8. Każda liczba postaci n^3-n gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią, jest podzielna przez
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
9. Liczba n jest różnicą kwadratów dwóch liczb naturalnych dodatnich, gdy
a) n = 101874
b) n = 493627
c) n = 227372
d) n = 524686
10. Mamy n dowolnych liczb naturalnych. Czy ze zbioru tych liczb zawsze mogę wybrać dokładnie trzy liczby, których suma jest podzielna przez 3, gdy:
a) n=4
b) n=5
c) n=6
d) n=7
11. Liczba n nie dzieli się przez 6. czy stąd wynika, że
a) n jest liczbą nieparzystą
b) n nie dzieli się przez 3
c) n nie dzieli się przez 12
d) n nie dzieli się przez 10
12. Liczby p, q są różnymi liczbami pierwszymi. Czy stąd wynika, że
a) p + q jest liczbą pierwszą
b) p + q jest liczbą złożoną
c) pq + 1 jest liczbą pierwszą
d) pg + 1 jest liczbą złożoną
13. Które z liczb są parzyste
a) 2^9 + 3^10 + 4^11
b) 2^5 + 3^7 + 5^11
c) 2*3*4*5*6*7
d) 1*3*5*7*9*11*13*15*17*19
14. Niech a=2^7*3^40 b=2^19*5^100 c=3^19*5^99. Wtedy;
a) liczba abc jest kwadratem liczby naturalnej
b) liczba ab jest kwadratem liczby naturalnej
c) cyfra jedności liczby b jest 0
d) cyfra jedności liczby a jest 3
15. Żadna z liczb m i n nie dzieli sie przez 6. Czy stąd wynika, że
a) mn nie dzieli się przez 6
b) m + n nie dzieli się przez 6
c) mn nie dzieli się przez 36
d) m + n nie dzieli się przez 36
16. Dowolna liczba naturalna dodatnia jest podzielna przez 24 wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona podzielna przez m i przez n. Powyższe zdanie jest prawdziwe dla:
a) m=3, n=8
b) m=4, n=6
c) m=8, n=6
d) m=4, n=12
17. Dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n następująca liczba jest parzysta
a) n^2 + n
b) 3^n + 5^n
c) 3^n + n
d) 3^n + n+1
18. Czy poprawnie podano największy wspólny dzielnik
a) NWD(30,42) = 6
b) NWD( 10^9 + 5, 10^9 + 35 ) = 15
c) NWD(42,84) = 14
d) NWD( 10^7 + 14, 10^7 +21) = 7
19. Czy istnieje taka liczba naturalna n, że
a) reszta z dzielenia liczby n^2 przez 4 jest równa 3
b) reszta z dzielenia liczby n^2 przez 8 jest równa 5
c) suma cyfr n^2 jest równa 21
d) suma cyfr n^2 jest równa 24
20. Czy istnieją takie liczby naturalne m,n większe od 100, że prawdziwa jest równość
a) 2^n = 3^m
b) m^m=n^2
c) m^2= n^3
d) 2^n = m^2
Xaar [ Uzależniony od Marysi ]
upnij we wrześniu/październiku to może ktoś się za to weźmie ;)
BBC BB [ Leg End ]
Panie, są wakacje, idź pan w cholerę!
Sizalus [ Generaďż˝ ]
BBC BB
Ty w wakacje nie zajmujesz się swoim hobby/zainteresowaniami?
Nadbor [ Pretorianin ]
Próbowałem czytać, ale wymiękłem. Dalej próbowałem tylko przeglądać, ale też wymiekłem. Nie licz, że ktoś z własnej woli to przeczyta zwłaszcza dzieci. Odstrasza nie tylko objętość. Zaczynasz od definicji, oznaczeń, brakuje tylko aksjomatów. Jak w porządnym podręczniku akademickim. Ale ten tekst chyba nie miał być przeznaczony dla studentów matematyki. Zgadzam się, że dobrze na początku wyjaśnić, na co mówimy liczba naturalna, a na co całkowita, ale tekst o arytmetycznej domkniętości zbioru liczb całkowitych budzi w młodym czytelniku niepotrzebne wrażenie, że ma do czynienia z czymś bardzo wyrafinowanym. Dzieciaki w podstawówce bez problemu rozumieją kongruencje i potrafi je to zaciekawić, a tłumaczenie im, że dodawanie jest łączne uważam za bezcelowe. Z młodymi trzeba - dużo praktyki - mało teorii - bo nie usiedzą. Zasadniczą część artykulu przeglądnąłem i jest ok. Może by się przydało dla odmiany jakieś zadanie o ustawianiu ludzi w kolumnę itp. Ale jakoś nie potrafię sobie wyobrazić, żeby ktoś w podstawówce, gim, lub jakiś niedouczony licealista sam wziął i przeczytał... Bo ci co sami czytają matematyczne artykuły, na ogół już to wiedzą. Ale ciebie to zapewne nie obchodzi, bo chcesz napisac artykuł i wpisać w osiągniecia(popieram:))
-piszesz gdzieś: "jedno z podstawowych praw mówi..." może lepiej to jednak nazwać po imieniu - zasadnicze tw. arytmetyki. Ten cały akapit jest dość niezrozumiały.
Xerces [ A.I. ]
Chciałem najpierw wprowadzić poprawkę co do tłumaczenia zasady działania algorytmu Euklidesa (jest ono dosyć mętne, a wpadłem na pomysł jak to można prościej wyjaśnić) i wtedy napisać odpowiedz, ale jak na razie minęły ponad dwa miesiące, a z braku czasu (i chęci) postęp pracy w poprawkach wynosi 0%.
Tak wiec pisze teraz, choć nie wiem czy to jeszcze przeczytasz.
Przede wszystkim dzięki za jakiekolwiek zainteresowanie i za jedyny komentarz. Z częściami uwag się zgadzam i postaram sie kiedyś wprowadzić.
Tekst jest kierowany głownie do ludzi, którzy CHCA sie trochę zapoznać z teoria liczb naturalnych, a za minimalny wiek żeby sie za niego brać ustaliłbym liceum. Wydaje sie ze w takim razie niestosowne byłoby dawanie przykładów o ustawianiu ludzi w kolumnę. Tak samo jak gloryfikowanie praktyki nad teorią - zgadzam sie, ze jedno nie powinno skrajnie dominować nad drugim i być może dodam trochę praktycznych zagadnień, ale podkreślam ze celem tego tekstu, jest przeciwstawienie sie szkolnemu nauczaniu, gdzie nie uczy sie myśleć tylko ślepo podstawiać do wzorów, inaczej mówiąc jest tylko i wyłącznie praktyka, a zero teorii. Być może faktycznie przegiąłem z rozpędu w drugą stronę, ale jeżeli nie dostane jeszcze jakiś opinii to ciężko będzie to stwierdzić.
Ale jakoś nie potrafię sobie wyobrazić, żeby ktoś w podstawówce, gim, lub jakiś niedouczony licealista sam wziął i przeczytał...
To mnie akurat nie interesuje. Jak już napisałem tekst jest kierowany do tych którzy CHCĄ. Jeżeli ktoś nie chce to na mocy tej definicji tekst nie jest kierowany do niego :) . Tak więc nie dbałem o czynnik motywacji.
arytmetycznej domkniętości zbioru liczb całkowitych budzi w młodym czytelniku niepotrzebne wrażenie, że ma do czynienia z czymś bardzo wyrafinowanym
O prawidłowym określeniu działania (które jak wiemy jest niczym innym jak funkcją) na jakimś zbiorze wspomniałem nie bez powodu. Tu akurat powołujesz się na liczby całkowite, ale dosyć często pytano mnie "Dlaczego nauczyciele uczą dzieci w podstawówce, że nie można odejmować większej liczby od mniejszej, jeżeli tak naprawdę można". Otóż nie można, ponieważ nauczyciel działa przy "milczącym" założeniu, że operujemy na naturalnych. Abstrahując już od tego, że odejmowanie nie jest poprawnie określonym działaniem na l.naturalnych to jednak w praktyce zazwyczaj się to ignoruje (i słusznie). Dzieciom w podstawówce faktycznie nie ma potrzeby tego tłumaczyć, ale jak już napisałem tekst jest kierowany do licealistów i zainteresowanych dorosłych, którzy chcą się po prostu czegoś dowiedzieć
tłumaczenie im, że dodawanie jest łączne uważam za bezcelowe
Ale tez potrafi kogoś zainteresować. Wychodzę z założenia, że lepiej podsiadać nadmiar wiedzy niż jej niedomiar.
Pozdrawiam i jeszcze raz dzięki za zainteresowanie.
alpha_omega [ Senator ]
Xerces -------------> Bardzo dobra inicjatywa, szczególnie nastawienie na konieczność myślenia i pokazywanie matematyki właśnie od tej strony. To prawda, że tekst jest długi i porusza wiele zagadnień, ale myślę, że osoby zainteresowane matematyką nie będą widziały w tym żadnej wady.
Problemem jest jednak to, jak dotrzeć do osób, które matematyki nie lubią, a mają do niej taki właśnie stosunek z powodu szkolnego nastawienia na schematyczność i rozwiązywanie zdań pod podane na tacy regułki. Myślę, że dobrą inicjatywą byłoby stworzenie większej strony. Widzę ją tak: obok artykułów podzielonych na działy i poddziały pojawiałyby się przykłady rozwiązań zadań szkolnych z wyjaśnieniami i odwołaniami do szerszych artykułów poświęconych danemu zagadnieniu; wyjaśnione zostałyby również podstawowe pojęcia, łącznie z takimi jak 'aksjomat', które mogłby (właśnie w przypadku np. aksjomatu) odwoływać się do uproszczonych rozważań filozoficznych o tym, czym jest matematyka.
W przypadku aksjomatu piszemy np. o tym, iż jest to prawo oparte o intuicję, które choć nie da się dowieść matematycznie, to wydaje się być czymś oczywistym; i podajemy tutaj np. aksjomat przeminności mnożenia liczb naturalnych zilustrowany przykładem koszyków i jabłek. Linkujemy z krótkim artykulikiem o dyskusji czy matematykę odkrywamy, czy też ją tworzymy; czy możemy uważać nasze intuicje za pewne etc.
Ponadto warto by włączyć trochę anegdotycznych, zabawnych przypowiastek o znanych matematykach, czy to w tekst poszczególnych artykułów, czy w notkach historycznych jakie również można by zamieścić w osobnym dziale.
Chodzi o to, ażeby wciągnąć w świat matematyki. Pokazać bogactwo tkwiące w zwykłych, rutynowo rozwiązywanych szkolnych zadaniach. W prosty sposób i w zarysie uświadomić statut filozoficzny, ontologiczny tej nauki; ciekawe postacie matematyków etc.
Jednym słowem mówię o tym, iż skoro masz chęci i siły - powinieneś pomyśleć o większej stronie, która będzie się trzymała kilku wytycznych:
nastawienie na rozumienie; przykłady uświadamiające na zadaniach z programu szkolnego; zaciekawianie - tj. anegdotki, uproszczone artykuły o naturzer matematyki o jej początkach i historii;
Xerces [ A.I. ]
Pierwotnym motywem powstania tego opracowania, była właśnie chęć stworzenia większej strony, niestety na dzień dzisiejszy muszę ten projekt zawiesić z paru prostych powodów. Po pierwsze doba ma 24 godziny, a tydzień 7 dni. Na dzień dzisiejszy z braku czasu nawet na GOL-u rzadko przebywam i nie udzielam sie już w wątkach matematycznych (no chyba ze problem ma ktoś kogo dobrze kojarzę lub zamieniłem parę słów np. hen1o, Milka, Loczek, Xaar, Arcy Hp). Ten kłopot można niby zlikwidować gdyby było choć trochę osób zainteresowanych współpracą, ale znajomi na moim wydziale nie są tym zainteresowani, a do tego wiele osób nie podziela mojego podejścia do matematyki na poziomie szkolnym, uważając, ze pamiętać proste wzory to nic trudnego i nie ma sensu ich tłumaczyć (dla ciekawostki dodam, ze najczęściej te osoby są spotykane na specjalizacji nauczycielskiej). Poza tym jest mało pasjonatów, bardzo dużo ludzi studiujących dla papierka.
Chodzi o to, ażeby wciągnąć w świat matematyki. Pokazać bogactwo tkwiące w zwykłych, rutynowo rozwiązywanych szkolnych zadaniach.
Wiesz jest jeden problem. Mało się spotyka osób z podobnym podejściem do mojego, a psychologia działa w ten sposób, że jak jesteś w czymś osamotniony, a twoje starania nie kończą się żadnym wymiernym efektem to zaczynasz w pewne rzeczy wątpić i tracisz inicjatywę. Osobiście mnie już irytuje, jak widzę na forum pytanie o rozwiązanie równanie kwadratowego i masa odpowiedzi z "deltami" i oczywiście żadnej, która rozwiązuje zagadnienie za pomocą elementarnych przekształceń - w efekcie w niektórych zadaniach wszyscy się w danym wątku zaczynają gubić w tych wzorkach i sami zapominają co liczą i dlaczego liczą. Irytuje mnie jak widzę tony osób nie widzących, że wzór na odległość dwóch punktów na płaszczyźnie jest bezpośrednią konsekwencją wzoru Pitagorasa. Irytuje mnie gdy ludzie nie widzą dlaczego wzór analityczny opisujący okrąg lub koło na płaszczyźnie jest taki, a nie inny. Irytują mnie ludzie, którzy w kombinatoryce myślą tylko na zasadach "kombinacja, wariacja, permutacja" (w 99% tez nie wiedzą skąd te wzory się wzięły) zamiast zwyczajnie uruchomić mózg, tak samo jak irytują mnie ludzie piszący A u (B n C) <=> (A u B) n (A u C), nie widząc ze piszą taką sama bezsensowną bzdurę jak 2+2 <=> 4 .Nie mówię, że jest to wina kogokolwiek. Winny jest jak zwykle system, ktorego juz mam serdecznie dosc. Owszem paru ludzi nauczyłem tego i owego nawet bardzo im sie to spodobało, ale co z tego? To są jednostki, a mnie irytuje podejście ogółu. A na samym końcu jak już coś komuś wyjaśnisz to wchodzi jakiś jaśnie oświecony i pyta "na co to komu?", prezentując bardzo powszechną postawę w naszym kraju - wypowiadania się na tematy o których nie ma się zielonego pojęcia. Chyba zaczynam popadać w taką samą fobie jak sys|yavor na punkcie fizyki. Podziwiam jednego matematyka, którego znam. On mimo, że ma czterdziestkę na karku, dalej nie ustaje w swoich krucjatach.