--> Archiwum Forum
mooris [ Konsul ]
Zadania które mnie pokonały...<mata>
1)
Wyznacz wartość parametru a (należy do R) tak, aby suma sześcianów różnych pierwiastków równania 6x^2 + 6(a-1)x - 5a+2a^2 = 0 była największa.
2)
Rozwiąż nierówność
1+log_2 z (sin2x) +log_2 ^2 z (sin 2x) + ...< 0,(6)
w którym lewa strona jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego i
x należy (0 ; pi).
peanut [ kriegsmaschine ]
1. wzory vieta na sume pierwiastkow, a pozniej pochodna z tego rownania. tam gdzie sie zeruje, bedzie ekstremum. z drugiej pochodnej sprawdzasz czy to max/min.
2. uzyj wzoru na sume wyrazow szeregu geometrycznego. zwykla nierownosc z logarytmem.
mooris [ Konsul ]
Na to jakich wzorów mam użyć sam dałem radę wpaść...
peanut [ kriegsmaschine ]
x1^3 + x2^3= (x1 + x2)^3 - 3x1x2(x1+x2) czyli (-b/a)^3 -3c/a(-b/a)
stanson [ Szeryf ]
[OT MODE ON]
Patrzac z punktu widzenia normalnego czlowieka bardzo Wam wspolczuje, ze musicie wkuwac takie bzdury. Kurw@, na co to komu, dzieciakom kisiel w głowach robia zamiast uczyć tego, co sie w życiu przyda...
[OT MODE OFF]
hctkko [ Their Law ]
stanson ---> niektórym się to przyda...
peanut [ kriegsmaschine ]
jesli matematyke nazywasz bzdura to czesc.
edit: ;)
stanson [ Szeryf ]
no to czesc :)
hctkko --> skoro niektórym, to po co uczyć wszystkich?
W całym swoim 26-letnim życiu nigdy nie przydało mi sie nic oprocz umiejetnosci dzielenia/dodawania/odejmowania/mnozenia.
Czekam nadal na ta wielkopomna chwile ale cos sie doczekac nie moge. Bo od chuj@ matmy mam wbite w mozg, tylko nadal nie wiem PO CO???
mooris [ Konsul ]
stanson===> no mi sie przyda raczej (w czwartek na maturze), a i w dalszym kształceniu i wogóle w przyszłości...no cóź jakoś trzeba podołać
Shilka the Red [ Ponury Grzybiarz ]
mi sie czesto przydaje, np dzieki temu w sklepie nigdy mnie babka na kasie nie oszuka, albo wiem ile moli atomow azotu wpada mi przez okno w 2e sekundy przy 21st, a dzieki calkom znajac rownanie krzywizny powierchni bochenka chleba moge bardzo szyko obliczyc jego objetosc, to tylko czubek gory lodowej
tylko czasem ludzie w sklepie uciekaja gdy zaczynam sie usmiechac:]]
s_i [ Pretorianin ]
stanson --> Niektórym się przyda, ale trudno było by zacząć tego wszystkiego dopiero na studiach uczyć, więc masz to w liceum. Mi się do niczego w życiu nie przyda to czego się uczyłam na biologii lub chemii. Trzeba to po prostu przejść.
hen1o [ Konsul ]
W pierwszym robisz cos takiego:
x1^3 + x2^3 = (x1+x2)*[(x1+x2)^2 -3*x1*x2] - rozkladasz to przez wzory skroconego mnozenia
W odpowiednie miejsca podstawiasz -b/a i c/a. Dalej ustalasz dziedzine, liczysz wartosci na jej krancach. Potem walisz pierwsza pochodna i wyliczasz ekstrema. Potem porownujesz wszystko, i nie wiem co ci wyjdzie ;) Funkcja osiaga maksa gdy pochodna zmienia znak z + na -.Troche dlugie, monotonne zadanie :P
Zaraz pomysle nad 2, ale nie wiem czy dam rade :F
Loczek [ El Loco Boracho ]
stanson: to jest rozszerzona matma w liceum... nie dla każdego :)
Swoją drogą zadanie proste :D
optymalizacja i szereg geometryczny.
peanut [ kriegsmaschine ]
moze dentysta pomoze?;)
a na serio, jak ktos zaklada, ze matma jest mu na grzyba potrzebna to po co sobie ja wbija do glowy na sile?
tyrol [ trespass ]
stanson - dosłownie jakbym słyszał siebie... Jak patrze na to czego uczą na matematyce to za każdym razem nasuwa mi się myśl: "Większych pierdół moje oczy nie widziały" Wzięli by uczyli czegoś co się przyda w życiu dorosłym - jakiejś ekonomii podstawy czy czegoś.. Matematyka powinna kończyć się na poziomie 6 klasy szkoły podstawowej... Mnie właściwie nic się z tego gówna nie przydaje, rachuje sobie w głowie co potrzebuje, procent na kalkulatorze wyliczam i tyle...
Może nie tyle ekonomii co podstaw przedsiębiorczości, których w porównaniu z matematyką jest za mało... A co do pytania: Tak wyobrażam sobie...
peanut [ kriegsmaschine ]
argh, wyobrazasz sobie ekonomie bez matmy? bo ja jakos nie moge.
straszna trygonometria, doprawdy. podstawiasz t=log_2(sin2x). masz dwa szeregi. ten po lewej i ten z ulamniem okresowym po drugiej. pozniej jest zwykla nierownosc ostra, skladajaca sie z dwoch nawiasow. szukasz miejsc zerowych tego wielomianu i sin2x przyjmuje ta bodajze 1/2 i cos tam. sprawdzasz z dziedzina i wychodzi.
hen1o [ Konsul ]
Trygonometria sux :P O ile szereg geometryczny jest latwy, to ten sinus mnie niszczy ;) A matura z matmy w czwartek huhuhuhuhu =]
Loczek-> gdzie ty widzisz optymalizacje? :F
BarD [ Leningrad Cowboy ]
Głupio myślicie. Nikt wam nie kazał wybierać matematyki: nawet tej rozszerzonej w LO.
Gdyby nie matematyka, to jak byśmy budowali mosty, opracowywali nowe technologie, poszerzali swoje horyzonty?
Kiedyś nawet dodawanie nie było potrzebne, trzeba było tylko dobrze kij wystrugać i ognisko umieć rozpalać.
Deepdelver [ Legend ]
stanson, tyrol --> w sytuacji gdy ogromna większość naszych rodaków nie potrafi zrozumieć prostego artykułu w gazecie matematyka jest ostatnim bastionem nauki logicznego myślenia. A logika jest konieczna nie tylko w przedmiotach stricte matematyczno-ekonomicznych, ale też w prawie, filozofii, socjologii itp.
Rakes [ Generaďż˝ ]
tyrol --> Jesli kazdy by wychodzil z takiego zalozenia jak ty, to nadal bys biegal z wlocznia i co najwyzej stukal jakies znaczki dlutem na kamiennej tabliczce a nie uzywal komputer..
peanut [ kriegsmaschine ]
no to spoko ekonomisci musza byc bez znajomosci tych wszystkich metod statystycznych, prawdopodobienstwa itd. rekiny biznesu. a jak komus potrzebna jest przedsiebiorczosc w szkole to najlepszym wyborem jest zawodowka. uczy zycia i wcale nie mowie tego z ironia.
s_i [ Pretorianin ]
tyrol --> W ekonomii matematyki nie ominiesz. I tam dopiero zauważasz do czego się te bzdury przydają. I to nie tylko dodawanie i odejmowanie, ale też macierze, różniczki itp.
hohner111 [ d00pa wolowa 0_o ]
o Boże, ale syf......po co tego uczą wogole :| I tak sie to zapomina odrazu po skonczneiu skzoly i nie chce sie do tego wracać...(chyba ze kogos to interesuje, ale to raczej marny odsetek...)
hen1o [ Konsul ]
Znalazlem cos fajnego, wzor na sume szescianow po zastosowaniu wzorow viete'a i uproszczeniu. Przyda ci sie :P
tyrol [ trespass ]
Rakes -- Na Twoje szczęście jestem tylko szeregową jednostką, więc nie obawiaj się o rozwój cywilizacji.
Ps. Cieszę się że pomimo swojej głupoty używam komputer
Loczek [ El Loco Boracho ]
hen1o: a czasem zadania w ktorym mamy obliczyc wartosc zmienniej dla ktorej np. objętość, czy tutaj suma sześcianów pierwiastków, przyjmie największą wartość to nie optymalizacja?
hen1o [ Konsul ]
U mnie sie raczej przyjelo, ze optymalizacja to zadania o Jasiu, ktory robi turboladowarke sprezynowa i chce zuzyc na to wszystko jak najmniej blachy :) Ja to zadanie widze jako cwiczenie na pochodnych + ekstrema, a nie jako cala optymalizacje.
Loczek [ El Loco Boracho ]
ale to jest ten sam typ co jasiu z użyciem jak najmniejszej ilości blachy :)
zresztą mniejsza o nazwe :)
powodzenia na matmie wszystkim (zwlaszcza rozszerzonej)!
hohner111 [ d00pa wolowa 0_o ]
czytam to i jakbym sluchal wywodów fizyka jądrowego :D albo słuchał kogos mowiacego po japonsku :D
tyrol [ trespass ]
hmm. też nie rozumiem, I wcale nie żałuje ...
BBC BB [ massive attack ]
Rakes -->> A Ty umieć używać komputer?
Rakes [ Generaďż˝ ]
BBC - a to pytanie jaki ma niby zwiazek z tym tematem ?
BBC BB [ massive attack ]
Rakes ->> Hehehe żadne, tak śmiesznie napisałeś po prostu :P
Xerces [ A.I. ]
tyrol ->takim argumentem możesz obalić sens uczenia czegokolwiek. Bo faktycznie zakładając, że ktoś w życiu siedzi i nic nie robi to żadna nauka nie jest mu potrzebna do szczęścia.
Co do samego nauczania matematyki w szkole to zgadzam się, że są ciekawsze sposoby nauczania – poprzez pokazywanie zastosowań,a przede wszystkim na zrozumieniu materiału, a nie wkuwaniu wzorków na pamięć.
Przykładowo:
- w każdej szkole powiedzą ze suma kątów trójkąta jest równa 180 stopni, ale mało kto umie to uzasadnić.
- w każdej szkole powiedzą ze aby móc w czworokąt wpisać ogrąg to suma przeciwległych boków musi być równa, oczywiście juz nie wytłumaczą dlaczego
- mało kto potrafi rozwiązać równanie kwadratowe bez delty. A to właściwie sprowadza sie do zrozumienia z czego sie wzięła.
- z pochodnymi, którymi się wszyscy podniecają jest trochę lepiej ale często spotykam ludzi, którzy nie wiedzą dlaczego 2x jest pochodną x^2. Mało tego spotykam ludzi, którzy tak naprawdę nie wiedzą czym jest pochodna – więdzą tylko jak ten twór stosować i jakie ma właściwości - m.in do ekstremów.
- nie spotkałem jeszcze kogoś w szkole kto uzasadniłby wzory Cramera
- trochę lepiej jest z wyznacznikiem macierzy 2x2 gdzie niektórzy potrafią powiedzieć dlaczego to ze jest równy 0 znaczy ze wektory są równolegle,
I takich przykładów mogę mnożyć, mnożyć, mnożyć i mnożyć.
To właśnie dlatego geometria syntetyczna i kombinatoryka sprawia najwięcej problemów w szkole. Bo są najbardziej niealgorytmiczne (czyt. trzeba przy nich myśleć)
Jeżeli chodzi o to czy matematyka jest potrzebna w nauce to nie chce mi się nawet polemizować.
W sumie całki stochastyczne jak i zaawansowane zagadnienia teorii prawdopodobieństwa opartych na teorii miary to bardzo ciekawa rzecz – firmy ubezpieczeniowe zatrudniają matematyków, którzy już wiedzą jak was obskubać z pieniędzy. To taka aluzja do ekonomii. Mogę ich wpisać jeszcze pełno jak i do dowolnie innej minimalnie-ścisłej nauki.
Shilka the Red [ Ponury Grzybiarz ]
xerces -> o o dokladnie tak samo mysle, mnie sie tam matematyka podoba moze mi sie i na studiach przydala dopiero, ale ze uczy logiki to fakt a ta juz sie zawsze przydaje w zyciu mozna sobei duzo ulatwic:]]
a co do twoich przykladow
1 jak ulozysz 3 jednakowe trojkat obok siebie roznymi katami to utworza prosta (180st) ?
2 hmm nie wiem
3 o ale to to jestem ciekaw bo dla mnei to byl zawsze tylko wzor ktory nie ma geometrycznego uzasadniena albo w ogole wyjasnienia, jakos im po prostu wyszedlz rachonkow, moglbys napisac skad sie bierze?
4 hehe a to sobie kiedys sam obczailem ale nei pamietam cos z tangensem chyba? nachylenia stycznej? kiedys wiem ze to zakumalem hehe i bylem zajebisice z siebie dumny:]]
5 hmm wxorow cramera to jzu nawet nie pamietam przy czym to bylo? kombinatoryce?
6 to wiedzialem kiedys, jakbym obadal chwilke w necie przypomnialbym sobie;]
jak sie w skad cos sie wzielo to latwiej to zapamietac, uzyc w zupelnie innym celu, i w ogole pokombinowac ale wlasnei w szkole chyba sami tego nei wiedza:]], u mnie babka z fizykie nie wiedziala skad sie bierze sila coriolisa cos tam metnie tlumaczyla ale widac bylo ze nie wie, wie ze jest i tyle:]]]
a u mnie na studiach i tak uczyli wszytskeigo na matematyce od nowa tylko hehe w szybszym tempie na pochodne byl chyba miesiac:]] ale znam takich co w sredniej nei mieli tego i sie nauczyli
Xerces [ A.I. ]
3 o ale to to jestem ciekaw bo dla mnei to byl zawsze tylko wzor ktory nie ma geometrycznego uzasadniena albo w ogole wyjasnienia, jakos im po prostu wyszedlz rachonkow. moglbys napisac skad sie bierze?
Ok. Trochę to zajmie, ale dzisiaj czas wiec co mi tam. Właściwie jedyne co potrzeba to znajomość elementarnych operacji i wzoru
** (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
ten chyba nie musze tłumaczyć skąd sie wziął, ale co tam. Po prostu (a + b)(a + b) wymnażamy przez siebie.
Tyle ze przy równania kwadratowych będziemy doprowadzali wyrażenia z prawej postaci do lewej
Ok weźmy dla przykładu:
x^2 + 6x + 8 = 0
Pierwszy krok jest najtrudniejszy, bo wyrażenie x^2 + 6x musimy zwinąć do (x + 3)^2 – 9.
Nie każdy widzi co sie tutaj dzieje. Na wytłumaczenie są dwa sposoby:
1.Żeby zastosować wzór ** to musze mieć sumę trzech składników, a mam dwa. Brakuje mi b^2, ale mogę łatwo odgadną jakie te b^2 chciałbym żeby było. Bo skoro a =x, 2ab = 6x wiec 2b = 6 wiec b=3 b^2 = 9. Wiec jeżeli mam wyrażenie x^2 + 6x i brakuje mi tej dziewiątki to mogę ją sobie najzwyczajniej wstawić i zaraz potem odjąć (w sumie wychodzi na 0) czyli mam x^2 + 6x + 9 – 9 i pierwsze trzy składniki zwijam za pomocą wzoru (x + 3)^2 – 9.
Wiec wracają do wyjściowego równania mogę je od razu przekształcić bez niczego do postaci kanonicznej (x + 3)^2 – 9 + 8 = 0 <=> (x+3)^2 -1 = 0
I to już jest postać kanoniczna bez żadnych wzorów.
Niektórzy mają kłopot aby do niej doprowadzić. Istnieje wiec jeszcze prostszy sposób.
2.Wiemy ze postać kanoniczna będzie postaci (x +3)^2 + (cos) czego nie potrafimy okreslić.
Te x+3 jest zdeterminowane przez x^2 +6x i ono tam va bank będzie. Jak wyznaczyć (cos)?
x^2 + 6x + 8
(x +3)^2 + (cos)
Te dwa wyrażenia to jest to samo. Jeżeli do drugiego podstawisz -3 (które w ogólnym przypadku to -b/2) to nawias się wyzeruje i zostanie ci (cos). Wiec skoro pierwsze równanie to jest dokładnie to samo co drugie to wstaw tam -3 i w ten sposób dostaniesz wartość (cos) które tutaj wyjdzie -1.
Z postaci kanonicznej juz prosta droga:
(x+3)^2 -1 = 0
(x+3)^2 = 1
Jak widać jest kwadrat równy czemuś. Jeżeli po prawej jest ujemna no to mamy sprzeczność bo kwadrat nie może być ujemny, a jeżeli dodatnia to robimy dalej (tak dobrze intuicja Ci podpowiada, ze to ma związek z deltą). Pierwiastkujemy obie strony i jak wiemy dostaniemy dwa rozwiązania. Jeżeli po prawej stronie mielibyśmy 0 to wtedy będzie jedno.
x+3 = 1 lub x + 3 = -1
x = -2 lub x = -4
Cala filozofia. Mało tego z postaci kanonicznej możemy dojść od razu do iloczynowej
(x+3)^2 -1 = 0
(x+3)^2 -1^2 = 0 ze wzoru a^2 -b^2 = (a + b )(a -b)
(x+3-1)( x+3+1) = 0
(x+2)(x+4) = 0 skąd od razu widać rozwiązania.
Inny przykład
2x^2 -8x – 24 = 0 (tutaj trzeba najpierw wyciagnąc 2 przed nawias, a dalej tak samo)
2[x^2 – 4x – 12] = 0
2[(x – 2)^2 -16)]=0
2(x-2)^2 = 32
(x-2)^2 = 16
x-2 = 4 x-2 = -4
x = 6 x = -2
A w ogólnym przykładzie
ax^2 + bx +c = 0
a [x^2 + b/a * x + c/a]=0
a[(x + b/2a)^2 – b^2/4a^2 + c/a] = 0
a(x + b/2a)^2 - b^2/4a + c = 0
a(x + b/2a)^2 = b^2/4a - c
a(x + b/2a)^2 = b^2/4a – 4ac/4a
a(x + b/2a)^2 = (b^2 – 4ac)/4a
(x + b/2a)^2 = (b^2 – 4ac)/4a^2
Jak widać jeżeli wyrażenie (b^2 – 4ac) jest mniejsze od zera to nie mamy rozwiązań (bo cale wyrażenie po prawej będzie ujemne, bo mianowniku jest kwadrat i będzie zawsze dodatni) Jeżeli większe to będą dwa a jeżeli równe 0 to będzie jedno. Załóżmy ze jest większe.
x + b/2a = sqrt(b^2 – 4ac)/2a x + b/2a = - sqrt(b^2 – 4ac)/2a
x = (- b + sqrt(b^2 – 4ac)/2a x = (- b - sqrt(b^2 – 4ac)/2a
Jesli b^2 – 4ac =0 to wtedy x = -b/2a.
Jeśli coś niejasno napisałem to zapytaj.
1 jak ulozysz 3 jednakowe trojkat obok siebie roznymi katami to utworza prosta (180st) ?
Tak. Powinno się tego dowodzić przez poprowadzenie przez dowolny wierzchołek trójkąta prostej równoległej do boku na przeciw tego wierzchołka i korzystając z definicji kątów naprzemianległych wykazać ze tworzy się tam kąt półpełny.
Ale intuicyjnie rzecz biorąc to prawie to samo co napisałeś.
4 hehe a to sobie kiedys sam obczailem ale nei pamietam cos z tangensem chyba? nachylenia stycznej? kiedys wiem ze to zakumalem hehe i bylem zajebisice z siebie dumny:]]
Nie. To iloraz różnicowy funkcji przy przyroście dążącym do 0. Czyli potocznie mówiąc „pochodna funkcji w punkcie to tempo przyrostu tej funkcji właśnie w tym w punkcie". Formalnie zapisuje się to ( zapis nie ładny ze względu na możliwości techniczne forum):
lim przy h->0 [f(x0 + h) – f(x0)]/h
Z całym szacunkiem, ale nie chce mi się za bardzo tłumaczyć skąd ten wzór jest (no chyba, że Ci zależy to napisz).
Jeżeli mamy obliczyć pochodne jakiejś funkcji np. w 20 punktach to wcale nie opłaca się tego robić. Wystarczy obliczyć pochodną funkcji w punkcie dla ogólnego przypadku i wtedy wyprowadzimy sobie własny wzór do, którego podstawiamy te 20 punktów. Dla przykładu F(x) = x^2 z definicji pochodna w punkcie to:
lim przy h->0 [f(x + h) – f(x)]/h = lim przy h->0 [(x + h)^2 -x^2]/h =
= lim przy h->0 [x^2 + 2hx + h^2 – x^2]/h = lim przy h->0 [2hx + h^2]/h =
= lim przy h->0 2x + h = 2x
I tyle. Dostaliśmy ogólny wzorek i jak teraz chcemy obliczyć pochodną x ^2 w dowolnym punkcie to wystarczy to wstawić do 2x. I ta „gotowa” funkcja ma nazwę funkcji pochodnej. I w ten sposób można wyprowadzić wszystkie znane wzory na funkcje pochodną. Powyższy przypadek uogólnia sie na wszystkie liczby całkowite, potem wymierne i rzeczywiste. Oczywiście istnieje cala masa innych pochodnych nie tylko funkcji potęgowych.
Co do tego dlaczego akurat pochodna w tym punkcie to tangens stycznej to najlepiej tłumaczy się graficznie.
Pochodna to po prostu tempo przyrostu. Dlatego pochodna funkcji stałej w każdym punkcie jest równa 0. Dlatego funkcji rosnącej jest dodatnia a malejącej ujemna. I dlatego gdy pochodna się zeruje to pierwotna dostaje garb lub pewien chwilowy zastój co można interpretować jako ekstremum lub punkt przegięcia (bo w tych miejscach przyrost funkcji na moment się zeruje)
hmm wxorow cramera to jzu nawet nie pamietam przy czym to bylo? Kombinatoryce?
Przy rozwiązywania układu równań liniowych.
jak sie w skad cos sie wzielo to latwiej to zapamietac, uzyc w zupelnie innym celu, i w ogole pokombinowac
To jest właśnie najpiękniejsze. Jak znasz wsyzstko do podszewki to możesz modyfikować dowolne narzędzie i wzór na własne potrzeby
w szkole chyba sami tego nei wiedza:]],
to jest właśnie bardzo ciekawe. Niedawno nauczyłem kogoś właśnie tych równań kwadratowych i tak mu się spodobało ze zaczął robić to bez delty. Nauczycielka potrąbiła ze tym sposobem nie można zrobić wszystkich przykładów ale jakikolwiek jej nie zadała to zrobiła. CO najciekawsze druga nauczycielka podzielała blednę zdanie tej pierwszej. Jak dla mnie to jest dowód ze nie mają pojęcia skąd się wzięła. Trochę się tym wtedy zaskoczyłem bo jak dla mnie dla mgr matematyki to podstawa....no, ale teraz to już mnie nic nie zaskoczy.
a u mnie na studiach i tak uczyli wszytskeigo na matematyce od nowa tylko hehe w szybszym tempie na pochodne byl chyba miesiac:]]
Na studiach też często opiera się wszystko na algorytmach, no ale to juz często zależy od wykładowcy.
W ogóle myślałem czy nie zrobić kiedyś jakiej stronki na której byłoby Trochę inne podejscie do matematyki niz powszechnie. Bo juz nie raz takiej szukałem ale nigdy nie znalazłem. Tylko gotowe wzory. No ale moje umiejętności w tworzeniu stron są.....szkoda gadać.
hen1o [ Konsul ]
W ogóle myślałem czy nie zrobić kiedyś jakiej stronki na której byłoby Trochę inne podejscie do matematyki niz powszechnie.
Oooo... bardzo prosze! Bede cie wspieral duchowo :)
Generalnie tez nie lubie sie uczyc z matmy czegos, czego nie rozumiem ;) Np. nigdy nie chcialo mi sie wkuwac wzorow redukcyjnych czy wartosci nawet podstawowych katow (np. sin30, sin60) bo rozumiem ten material i sam potrafie sobie wszystko wyznaczyc. Oczywiscie wszystko na poziomie Liceum :P (bardzo czesto do takich spraw w ten sposob podchodze - "ech, jesli to zrozumiem to nie bede musial wkuwac... :P )
W wiekszosci ksiazek sa przeprowadzone dowody "co jak i dlaczego", ale 90% uczniow nie chce sie tego czytac. A nawet jesli znajdzie sie jakis zapaleniec to i tak te dowody sa pisane takim jezykiem, ze czlowiek od razu sie zniecheca.
Wezmy chociazby iloraz różnicowy. To jest takie proste - przyrost wartosci do przyrostu argumentu. Ale gdy w mojej ksiazce zaczeli o tym pisac zupelnie nic nie potrafilem zrozumiec. Wlasnie w takim miejscu potrzebny jest nauczyciel, ktory wszystko wyjasni ludzkimi slowami.
Na obrazku obok pokazuje przyklad jak to wszystko jest ladnie pokazane w ksiazkach. Ot, prosta definicja. Ale czytam to i sie zastanawiam: "Co !@#$?!?!?".
I niestety w pewnych dzialach sam wpisuje sie w obraz przecietnego licealisty, ktory cos liczy, a sam nie wie co. Glownie sa to te elementy analizy matematycznej. Widze:
lim x->2 (x^2-4)/(x-2)
No i licze, upraszczam wszystko i pokazuje mi sie granica funkcji w punkcie. Szkoda tylko, ze nie wiem czym jest ta granica :[
Co gorsza - nigdy nie mialem ani jednej lekcji z analizy matematycznej. Nie jest ona w programie mojej klasy. Dlatego pozostaje mi wlasnie taka wiedzia "ksiazkowa", do ktorej trzeba wlozyc 10x wiecej energii niz normalnie. Owszem - jest jeden e-book (www.matma.boo.pl) czy forum matematyka.pl, ale nawet tam nie tlumaczy sie "skad sie to wzielo", a jedynie pokazane sa przyklady. Sam probowalem cos naskrobac na wikibooks, ale bardzo szybko sie zniechecilem (wszystko trzeba pisac sztywnym, naukowym stylem, czyli czyms, czego staram sie wystrzegacz tlumaczac cos innym).
Ech... :P
Xerces jestem z toba, nie poddawaj sie :D
alpha_omega [ Generaďż˝ ]
No to ja czekam na interpretację granicy funkcji Xercesa, bo również moje własne pojęcie o tej konstrukcji jest dość mgliste. Definicja niby zrozumiała, interpretacja geometryczna oczywista, ale umyka mi gdzieś całościowy sens tego g tj. zdolność odczuwania jakie to g będzie.
J_A_C_K [ Konsul ]
Granica funkcji nie jest jakimś skomplikowanym pojęciem, dla funkcji ciągłych jest to wartość funkcji w danym punkcie (argumencie). Najczęściej definicje książkowe mówią, że granicą funkcji nazywamy granicę ciągu wartości funkcji i są to wartości funkcji dla argumentów zbieżnych do punktu w jakim chcemy chcemy tę granicę zbadać.
Czyli jak chcemy np. zbadać granicę funkcji kwadratowej f(x)=x^2+3 w punkcie Xo=0, to piszemy lim_x->0 (xn^2+3). Przy obliczaniu granic funkcji piszemy xn, co oznacza ciąg argumentów zbieżnych do żądanego argumentu (w tym przypadku 0). Piszemy dalej: lim_x->0 (xn^2+3)=(0^2+3)=3 . Ponieważ ciąg argumentów xn jest zbieżny do 0, to zamiast xn piszemy 0 i liczymy granicę z tego co zostało. Granicą funkcji w punkcie Xo jest liczba 3.
W niektórych przypadkach trzeba uważać, chociażby wtedy gdy dany argument nie należy do dziedziny funkcji ale ma w tym miejscu granicę właściwą (pomijamy rozbieżność do nieskończoności). Punkt Xo=3 nie nalezy do dziedziny funkcji f(x)=(x-3)(x+3)/(x-3) , ale funkcja ma w tym miejscu granice równą 6 (nalezy skrocic ulamek i mianownik do postaci f(x)=x+3 i z tego liczyć granicę).
Xerces [ A.I. ]
Generalnie tez nie lubie sie uczyc z matmy czegos, czego nie rozumiem ;)
Zadziwię Cie, ja studiuje matematykę i tez nie lubię się uczyć czegoś czego nie rozumiem:). Na szczęście połowa wykładowców tłumaczy co i jak, ale i tak materiał jest tak ciężki, że czasami trzeba się nad tym głowić parę godzin. Będąc szczerym, może mi nie uwierzysz, ale w szkole średniej praktycznie w ogóle nie miałem matematyki. Nauczycielka w ogóle olewała ten przedmiot, napisała trochę pierdół na tablicy potem powiedziała dobierzcie się w grupy i poszła w z klasy oczywiście nikt nie robił żadnych zadań. Jakieś predyspozycje matematyczne zawsze miałem więc czasami udało mi się zaimprowizować. Aż w końcu nadeszła matura a ja kompletnie nie wiedziałem z czego zdawać (bo ze wszystkiego byłem zielony – z innych ścisłych umiałem, ale nie na tyle pewnie żeby pisać maturę). W końcu rodzice po krzykach w trudzie i znoju wygnali mnie na matematykę (ze względu na pamięć jak radziłem sobie w podstawówce, a bylem tam czołowym matematykiem – ale miałem naprawdę dobrą nauczycielkę, którą do dziś miło wspominam). Nie wiem na jakiej zasadzie to sie potoczyło być może dlatego ze nie przywiązywałem wagi do tego przedmiotu w szkole i wpojono mi myślenia algorytmicznego. I może właśnie dlatego ucząc sie sam wszystkiego we własnym zakresie zacząłem analizować dowody i rozumieć matematykę bez żadnych wzorów czy niezrozumiałych twierdzeń. Pamiętam jak moja nauczycielka w ostatniej klasie przestała mnie lubić bo zaczalem zadawać zbyt dociekliwe pytania na które sama nie znała odpowiedzi. Suma sumarum skończyło ze calą szkole średnią i to na zaawansowanym poziomie przerobiłem w niecałe 3 miesiące.
W wiekszosci ksiazek sa przeprowadzone dowody "co jak i dlaczego", ale 90% uczniow nie chce sie tego czytac. A nawet jesli znajdzie sie jakis zapaleniec to i tak te dowody sa pisane takim jezykiem, ze czlowiek od razu sie zniecheca.
W programie szkolnym, jak czytałem o metodach kształcenia z matematyki to przeczytałem taki punkt: „rozwój u ucznia języka matematycznego”. Jeśli chodzi o mój światopogląd to w życiu większej bzdury nie przeczytałem. Według mnie formalizm matematyczny powinien być dla matematyków, a dla ludzi „przeciętnych” wszystko powinno bazować na intuicjonizmie – czyli na intuicyjnym rozumieniu pewnych pojęć. (tak na marginesie jest cos takiego jak filozofia matematyki – rożne podejścia do niej, a także pytania czym tak naprawdę jest matematyka intuicjonizm występuje zaraz obok formalizmu). Czyli właśnie jak podałeś przykład z granicami. Taką formułę może przeczytać sobie matematyk, a nie przeciętny ludź. Oczywiście formalizm jest ważny, ale jeżeli zaczyna on przysłaniać ważniejsze cele jakim jest zrozumienie matematyki to według mnie zaczyna być cos nie tak. Czyli formalizm – tak, ale na dalszym planie, Jeżeli przeszkadza w zrozumieniu to go usuwam.
Wezmy chociazby iloraz różnicowy. To jest takie proste - przyrost wartosci do przyrostu argumentu. Ale gdy w mojej ksiazce zaczeli o tym pisac zupelnie nic nie potrafilem zrozumiec.
Efekt formalizacji. Jak sam widzisz to jest bardzo proste jak sie rozumie i uwierz ze tak jest prawie z każdą rzeczą w szkolnej matematyce.
Oooo... bardzo prosze! Bede cie wspieral duchowo :)
Mi jest bardziej potrzebne wsparcie w postaci kogos kto wie jak robić strony:) Bo ja tylko potrafie napisac tekst :) Ale dzięki w każdym razie.
I niestety w pewnych dzialach sam wpisuje sie w obraz przecietnego licealisty, ktory cos liczy, a sam nie wie co. Glownie sa to te elementy analizy matematycznej. Widze:
lim x->2 (x^2-4)/(x-2)
No i licze, upraszczam wszystko i pokazuje mi sie granica funkcji w punkcie. Szkoda tylko, ze nie wiem czym jest ta granica :[
Skrótowo wytłumaczenie: intuicyjnie. „lim” przetłumacz sobie na „co się dzieje gdy”.
Wartość funkcji w punkcie np. 5 to pytanie : „co się dzieje z wartością funkcji w punkcie 5”
Obliczenie granicy w punkcie 5 to pytanie: „co się dzieje gdy zbliżamy się do punktu 5”, czyli jak sobie wyobrazisz siebie samego na deskorolce jadącego po wykresie to te pytanie sprowadza sie do tego gdzie zajedziesz jako cel obierając sobie punkt którego pierwsza współrzędna jest równa 5.
Granica i wartość funkcji w punktach gdzie ta funkcja jest określona to te same wartości. No bo jak masz np. Funkcje f(x) = 5x no to w punkcie 5 ma wartość 25 a gdy się „zbliżasz” z którejkolwiek strony to tego punktu (wyobraź sobie ze jedziesz na deskorolce po wykresie)to jadąc do punktu x=5 dojedziesz do y =25.
Różnica zaczyna się pojawiać gdy funkcja jest nieokreślona w jakimś punkcie.
Wiesz jak wygląda wykres funkcji f(x) =1/x (hiperbola)
w punkcie zero nie ma żadnej wartości. A jak zapytam co sie dzieje gdy będziesz z prawej strony (granica prawostronna) jechał na deskorolce i zbliżał sie punktu x=0? Cos musi sie stać na pewno i to pytanie w matematyce to jest właśnie granica. A jak wiesz z wykresu funkcji 1/x zbliżając sie do 0 pojedziesz sobie po wykresie w gore do nieskończoności. Jakbyś sie zbliżaj z lewej strony to pojedziesz sobie do minus nieskończoności. I to jest cala filozofia granicy. Kiedy x dąży do nieskończoności to jest to to samo, tyle ze tym razem pytam „czy jadąc sobie w nieskończoność będziesz sie coraz bardziej zbliżał do jakiegoś konkretnego y? W wypadku 1/x odpowiedz brzmi tak -> zbliżasz się co raz bardziej do 0. W puncie 4 jesteś na y 1/ 4 a punkcie 100 jesteś na y 1/100 w punkcie 100000000 jesteś na y 1/100000000. Co raz bardziej zbliżasz sie do zera im dalej jedziesz.
Przykładowo lim dla x->0 y = 5x/x
W 0 ta funkcja nie ma wartości, a co z granicą? Co sie dzieje gdy zbliżasz sie do 0? Graficznie widać od razu ze to jest 5. Wykresem tej funkcji jest prosta y = 5 z kółeczkiem w punkcie 0 (bo tam jest nieokreślona). Jak to zrobić algebraicznie? Skracasz sobie x i wychodzi y=5, stad widać juz granice.
Co sie tak naprawdę dzieje w tym przykładzie. Normalnie jak przekształcasz wzór funkcji to musisz pamiętać o jednym: wolno robić co ci sie żywnie podoba, ale musisz pilnować żeby nie zmienić dziedziny. Jak to zrobisz to juz dostaniesz inną funkcje. Czyli formalnie funkcja y=5 a y=5x/x to dwie inne funkcje. Tak możesz skrócić sobie x ale zmieniasz w ten sposób dziedzinę z R\‹0› na R i to dwie inne funkcje -ale ich granice zachowują sie wszędzie tak samo. Przekształcając wzór funkcji możesz wyrzucić jakieś punkty z dziedziny – ale nie ma możliwości aby zmieniły się wartości. Jak gdzieś była wartość 10 to po przekształceniach będzie dalej 10 albo nie będzie tego punktu w dziedzinie, ale na 100% nie zmieni się nagle na wartość 2.
Na czym więc polega filozofia szukania granicy w danym punkcie? Jeżeli masz jakąś funkcje gdzie zeruje się zarówno licznik jak i mianownik w jakimś punkcie to nie ma bata – zarówno w liczniku jak i mianowniku siedzi jakiś czynnik który powoduje ze obydwa sie zerują. Cały myk polega na tym żeby je znaleźć i ze sobą skrócić. Co się wtedy zmieni? Nic. Legalnie przekształcasz wzór. Jedyne co ci sie zmieni i zmieni sie na pewno to dziedzina, ale o nią sie nie troszczysz, dlaczego? Bo granice pozostają niezmienne – niezależnie od formuły funkcji i dziedziny. Jak funkcja jest określona w jakimś punkcie to granicą będzie taka sama jak wartość. Jak nagle w wyniku przekształceń ten punkt wyleci z dziedziny to granica i tak będzie taka sama (ale wartości juz nie będzie). Tak jak to było z y=5 i y=5x/x. Mnożąc y = 5 przez x wyrzucasz z wykresu punkt (0,5)
( x^2 – 4 )/x-2 = (x-2)(x+2)/(x-2)
x-2 powoduje ze licznik i mianownik zeruje sie w jedynce. To jest jakaś funkcja Jeżeli skrócę ze sobą x-2 w liczniku i mianowniku to zmienię jej dziedzinę, ale to mnie nie obchodzi. Obchodzi mnie ze granice zawsze będą takie same. Wiec skracam. I wychodzi granica 2 (równa wartości w 2 w nowej funkcji y = x + 2. Mam nadzieje ze nie zamotalem:)
Coś może tu być nie jasnego. Jeżeli tak to pytaj.
Mój kolega powiedział kiedyś ze matematyka jak się ją rozumie to nie dziedzina wiedzy – to sztuka, język programowania w którym jest napisany wszechświat. Ma racje według mnie.
Xerces [ A.I. ]
Aj edit. tak to jest jak sie robi jakis przyklad a w edycji decyduje na inny:
x-2 powoduje ze licznik i mianownik zeruje sie w jedynce.
zeruje sie w 2
I wychodzi granica 2
granica 4
alpha_omega [ Generaďż˝ ]
No moim zdaniem racji nie ma - matematyka to raczej ludzka idealizacja wyabstrahowanych relacji ujęta w system formalny, niż jakiś rzeczywisty kod wszechświata; choć czasami w zadziwiający sposób adekwatna do rzeczywistych zależności.
Niemniej z matematyką zwyczajnie trzeba spędzać sporo czasu, co jest wielkim problemem jeśli swoje główne zainteresowania sytuuje się na innym kierunku. Z czasem zapewne zwyczajnie "widzi się" to co się czyta, nawet w przypadku skomplikowanych, formalnych definicji i dowodów - tak też jest z filozofią, która w przypadku niektórych autorów potrafii z początku z niesłychaną siłą odrzucać. Wszystko jak zwykle sprowadza się do dogłębnej konceptualizacji i problemy z matematyką mają nie ci, którzy nie potrafią myśleć logicznie, lecz ci którym nie zaskoczyło odpowiednie widzenie (czy to z braku praktyki, czy podejścia: rozwiążę to schematem). Dogłębna konceptualizacja jest niezbędna dla myślenia, bowiem ona dostarcza materiału na którym myśl operuje, a ponieważ nauka zawsze jest strukturą - niedostatki konceptualizacji podstawowych pojęć uniemożliwiają dogłębne zrozumienie dalszych.
W sumie to oczywiste, że funckcja ciągła ma granicę w punkcie równą wartości funkcji w tym punkcie, a jednak mnie zawsze przeraża głębia samego pojęcia liczb rzeczywistych, które są, jeśli można się tak wyrazić - dwuwymiarowo nieskończone. Zaburza to moją pewność siebie :)
A cała analiza matematyczna jest uwikłana w tę nieskończoność.
A najbardziej mnie wkurza, że dobrze rozumować mogę bądź gdy chodzę, bądź kiedy leżę przed snem - w innych wypadkach jestem kompletnie rozproszony ;)
Xerces [ A.I. ]
Bo ja wiem... w ciągu czasu jakim się zajmuje matematyką, widziałem już tyle jej zastosowań w różnych dziedzinach, ze juz chyba nie potrafie wymienić żadnej w której by nie uczestniczyla. No moze poza humanistycznymi. A jezeli kazde zjawisko mozna sprowadzic do matematyki to czy rzeczywiscie nie powinniśmi się zastanwić czy to nie jest kod wszechświata?
A na naukach ścisłych się nie kończy. Jedną dziedzin matematyki jest "Teoria Gier". W skrocie podam dwie definicje - "gra" to dowolna konfliktowa zyciowa sytuacja, a "gracz" to dowolny człowiek będący właśnie w tej sytuacji. Ta dziedzina w szeroki sposób potrafi formalizować nawet zycie codzienne. Jak wiec widzisz granice matematyki są bardzo szerokie.
Zerknij na
choć czasami w zadziwiający sposób adekwatna do rzeczywistych zależności.
Nie jestem pewien czy dobrze rozumiem. To nie jest tak, że ktoś sobie siedzi i nagle wymyśla jakiś obiekt matematyczny i zaczyna sie nim bawić, a potem przypadkowo okazuje się że jest on adekwatny do rzeczywistości. Po pierwsze wiele pojęć narodziło z innych nauk i to na ich potrzeby po drugie wszystkie dowody i obiekty opiera się na pewnym układzie pojęć pierwotnych i aksjomatów, które są adekwatne z naszą rzeczywistością, a co za tym idzie - kazde twierdzenie jakie udawadnia sie na ich gruncie w danym modelu.
Oczywiscie matematycy czasami tworzą modele sprzeczne z rzeczywistoscią (czasami celowo, czasami nie) przykladowo geometrie nieeuklidesowe gdzie nie obowiązuje piąty postulat Euklidesa (czyli równoległości). Na tym buduje się nowy model matematyczny. Jest nawet dziedzina matematyki, która zajmuje się badaniem tego co mówie "teoria modeli". Ale faktem, ze jezeli jakis aksjomat jest sprzeczny z prawami fizyki to wtedy cały model też.
Co do przedostaniego zdania. Niektóre obiekty matematyczne trudno sobie wyobrazić. Czasami posuwa się to tego stopnia, że niektórzy kwestionują ich istnienie. Ale w tym nie jestem obeznany. Mozesz o tym poczytać w wikipedi. Wpisz hasla intuicjonizm, formalizm, logicyzm, albo po prostu matematyka. Mozesz sie dowiedziec paru ciekawych rzeczy.
A dla reszty (jezeli ktos poza alpha to czyta :)) pewien przykladzik roznicy miedzy granicami funkcji i ciągów.
Jak wiadomo ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Czasami w szkołach nie uczą czym się różni granica funkcji od ciągu w nieskończoności jezeli te dwie dane są te samą formułą.
Zakladam ze n - naturalne, x -rzeczywiste
Przykladowo jak jest lim n -> niesko (3n + 2)/(2n+1) = 3/2
zadnej roznicy nie ma przy lim x -> niesko (3x + 2)/(2x+1) = 3/2
Niektorzy mogą sie zapytać wiec czym to sie rozni?
To wezcie przyklad sin (pi*x)
lim x -> niesko sin (pi*x) nie istnieje
lim n -> niesko sin (pi*n) = 0
Azzie [ bonobo ]
Ja czytalem, czuje sie matematycznie skrzywdzony. Matematyke uwielbialem az do matury, znienawidzilem na polibudzie... tak bardzo ze az zmienilem uczelnie.
Xerces [ A.I. ]
alpha_omega -> Nie zauwazylem Twojego jednego zdania wiec odgrzeje stary wątek.
a jednak mnie zawsze przeraża głębia samego pojęcia liczb rzeczywistych, które są, jeśli można się tak wyrazić - dwuwymiarowo nieskończone
Tutaj nie ma jeszcze nic strasznego. Co jezeli powiem ze jest bardzo duzo nieskonczonosci? Liczby kardynalne opisują moc zbiorow. Liczby kardynalne to nic innego jak liczba elementow danego zbioru. Dopoki zbiory są skonczone dopoty liczby kardynalne są reprezentowane przez liczby naturalne. Zabawa zaczyna się gdy zbiory są nieskonczone. Najmniejszą znaną nieskonczonoscią jest nieskonczonosc mająca tyle samo elementow co zbior liczb naturalnych. Ma nazwe alef zero. Tak samo jak liczb naturalnych jest alef zero liczb calkowitych i alef zero liczb wymiernych. Tak wiec jak widzisz gdzie zaczyna sie abstrakcja tam zawodzi intuicja, bowiem wiekszosc ludzi twierdzi ze jak juz cos, to liczb calkowitych jest wiecej niz naturalnych. Zbior liczb rzeczywsitych ma moc continuum, taką samą zresztą jak zbior liczb niewymiernych. Do dzisiaj nie można ustalic czy pomiedzy nieskonczonoscią alef zero i continuum istnieje jakas inna. Ale to nie wszystko – zbior potegowy to zbior zlozony z wszystkich podzbiorow danego zbioru. I ten zbior ma moc zawsze wiekszą od zbioru pierwotnego. A to jest dowod na to ze istenieje nieskonczenie wiele roznych nieskonczonosci. W szczegolnosci zbior potegowy z alef zero ma moc continuum. Nie jestem pewien, ale mysle ze gdyby udalo sie udowodnic ze pomiedzy mocą nieskoczonosci z jakiegos zbioru, a mocą nieskonczonosci z jego zbioru potegowego nie ma juz zadnej innej to byloby to rownozaczne z tym ze jest dokladnie alef zero nieskonczonosci.
Tak wiec nieskonczonosc liczb rzeczywistych to nic strasznego