Matematyka - konkurs

09.03.2006

20:31

[3]

Hakim [ ]

27?

surox [ Centurion ]

Arxel -> lol, ciekawe jak chcesz to zrobic? Chyba nie zdajesz sobie sprawy, jaka to wielka liczba.

qaq [ CCCP ]

ale JAK w stosunkowo krótkim czasie (max 20 min.) to obliczyć

MAROLL [ Hibernate ]

No to jest 16 marca ? Ja nie biorę udziału bo ze ścisłych tylko chemię kumam ;) Ale mam ręce pełne roboty bo w dzień Kangura mamy Święto Nauk Matematycznych i prezentacje każdej klasy ;]

09.03.2006

20:39

[7]

youngsta [ Pretorianin ]

rzeczywiscie 27 :)
hakim: skad wiedziales?

nutkaaa [ Icewoman ]

biore udzial aczkolwiek w ogole sie nie przygotowuje do kangura mam za duzo spr w nasteonym tygodniu ;-) a kangur jak wypadnie tak wypadnie :)

Arxel [ Speedcuber ]

nom 27;]
jak zescie na to tak szybko wpadli? :P

a u mnie w srode konkurs z infy, czwartek kangur.. :) bedzie dobrze.. :)

Loczek [ El Loco Boracho ]

podnies 3 do potęgi 2003...

09.03.2006

20:48

[11]

Conroy [ Dwie Szopy ]

3^3 chyba :). Podnoszenie 3^2003 i tak byłoby problematyczne :).

qaq [ CCCP ]

Loczek -> a da to się zastąpić potęgą 2003 przez 3? jeśli nie to podajcie mi jakiś sposób na szybkie liczenie potęg. a może to to samo co 3 przez 3?

Loczek [ El Loco Boracho ]

nie wiem :)))

wiem, ze 2000 napewno mozna z podstawy wywalic :D

qaq [ CCCP ]

chyba nie dałem wam za trudnego zadania do wytłumaczenia mi?

Garion [ Konsul ]

Oznaczmy liczbę 2003^2003 przez W, zgodnie z def. potęgowania możemy zapisać ją w nast. postaci:

W = 2003 * 2003 * ... * 2003 (gdzie działanie mnożenia występuje 2002 razy)

Taki zapis pozwala na dalsze przekształcenia, pierwszy czynnik zapisujemy jako sumę dwóch liczb:

W = (2000 + 3) * 2003 * ... * 2003

Dalej, korzystając z faktu rozdzielności mnożenia względem dodawania piszemy:

W = 2000 * (2003 * 2003 * ... * 2003) + 3 * (2003 * 2003 * ... * 2003), gdzie mnożenie w nawiasie występuje 2001 razy.

Należy zauważyć, że dla obliczenia dwóch ostatnich cyfr z wyniku nieistotny jest pierwszy człon sumy, gdyż trzy ostatnie liczby z działania 2000 * (2003 * ... * 2003) na pewną będą zerami, które nie wpłyną na wynik sumy, dla naszych dalszych rozważań ograniczamy się więc do liczby 3 * (2003 * 2003 * ... * 2003), którą oznaczamy jako R, naszym zadaniem w dalszym ciągu pozostaje ustalenie dwóch ostatnich miejsc, ale już z tego działania.

R = 3 * (2003 * 2003 * ... * 2003)

W tym miejscu możemy ponownie zastosować wcześniej zastosowany trick:

R = 3 * [(2000+3) * 2003 ... * 2003]

a więc

R = 3 * [ 2000 * (2003 * ... * 2003) + 3 * (2003 * ... * 2003) ], gdzie człon (2003 * ... * 2003) zawiera 2000 mnożeń.

Posługując się taką samą argumentacją jak poprzednio opuszczamy człon 2000 * (2003 * ... * 2003) i zajmujemy się liczbą S = 3 * 3 * (2003 * ... * 2003).

Opisane działania możemy powtorzyć jeszcze niemal 2000 razy lub zauważyć, że końcowy wynik wyniesie po prostu 3 * 3 * ... * 3, gdzie mnożenie występuje 2002 razy, więc inaczej zapisując będzie to 3^2003.

To właśnie dlatego możemy opuścić 2000 z podstawy jak ktoś zauważył, oczywiście nie jest to ani najprostsze ani najszybsze rozwiązanie, ale stanowi niemal dowód tego faktu i pozwala zrozumieć dlaczego właśnie tak, a nie inaczej ;)

Obliczenie dwóch ostatnich cyfr z działania 3^2003 jest już znacznie prostsze, wiemy, że dla oceny dwóch ostatnich cyfr znaczenie mają dla nas tylko wymnożenia dwóch ostatnich cyfr kolejnych potęg trójki, wystarczy zauważyć że dla 3^0, 3^20, 3^40, 3^60, itd. ostatnimi dwoma cyframi są 01, więc nie mają one znaczenia dla kolejnych następujących po nich potęgach, jeśli więc 3^2000 przyjmuje 01 na dwóch ostatnich pozycjach, a 3^2000 * 3^3 to 3^2003 to obie muszą przyjmować identyczną końcówkę, obliczamy więc 3^3 i otrzymujemy wynik - 27.

Fakt opisany w poprzednim akapicie można było wykorzystać już na samym początku, ale łatwiej to zauważyć przy potęgowaniu liczby 3 a nie 2003, w 20 minut z powodzeniem można wykonać takie zadanie nie mając pomysłu na żaden gotowy algorytm.

Xerces [ A.I. ]

Ja jeszcze wtrące swoje 3 grosze. Rozumowanie podanie przez Gariona jest poprawne ( według mnie nawet zbyt szczegółowe, bo to, że problem można sprowadzić do problemu podnoszenia 3^2003 jest dosyć oczywiste), ale ma pewną luką przez stwierdzenie " wystarczy zauważyć że dla 3^0, 3^20, 3^40, 3^60, itd. ostatnimi dwoma cyframi są 01". Na kangurze chyba nie wolno mieć kalkulatorów o ile pamiętam. Jak do tego dojść w normalny sposób?

Można użyć pewnego skróconego algorytmu mnożenia, ale żeby z niego skorzystać musimy mieć liczbę z 1 na miejscu cyfry jedności. Więc podnosimy kolejno 3 do potęgi, az przy 4 dostaniemy 81. I tutaj rusza skrócony algorytm.

81
81 *

Da nam na cyfre jedności 1 i cyfrę dziesiątek 8 + 8 ( mod 10 )= 6 Można to właśnie łatwo policzyć przez jedynki na cyfrze jedności. Nasz wynik to (cośtam)61. Wykonujemy kolene mnożenie:

(cośtam)61
81 *

Na miejscu jedności znów będzie jedynka a na miejscu dziesiątek będzie 4.
Można od razu zauważyć, że mnożenie przez 81 zmniejsza w wyniku dziesiątki o 2 tak więc 01 na końcu dostaniemy przy 81^5. A to się równa (3^4)^5 = 3^20
Dalej rozumowanie takie jak przedstawił Garion.

12.03.2006

14:01

[17]

Gepard206 [ Final Fantasy 7 ]

Mam pytanie :) Do czego komuś się przyda potęgowanie 2003 przez 2003 ?:P

Xerces [ A.I. ]

Na nic. Nie chodzi o sam wynik, ale o ideę analitycznego myślenia. Pewnie niektórzy ludzie pomyślą, że to bzdura, ale ja np. nie wyobrażam sobie uprawiania matematyki wyzszej bez analitycznego podejscia. No, a w szkole można potraktować to jako trening intelektualny...

alpha_omega [ Generaďż˝ ]

Chyba nie sądzisz, że ktoś zacznie potęgować liczbę z myślą o tym, iż być może istnieje jakaś zasada, która da nam końcówkę 01 w pobliżu 3^2003 i ułatwi rozwiązanie zadania. Musi istnieć jakiś łatwiejszy sposób zauważenia, iż 3^0, 3^20 itd. daje końcówkę 01, nie wiem może podejść od strony potęgowania 3, jako kolejnych mnożeń (2+1) i tutaj czegoś poszukać?

Xerces [ A.I. ]

Dlaczego nie? Wiesz jaka jest jedna z rzeczy, które lubie w matematyce? Że tutaj często nie wystarcza poznanie samej teori. Liczy się także doświadczenie i obserwacja wielu zagadnień. Im więcej ich widzisz i rozwiązujesz tym Twoje doświadczenie się zwiększa (LEVEL UP ;)) i w pewnym momencie widząc jakieś zadanie intuicyjnie wiesz od jakiej strony podejść. Potem parę prób i błędów i wpadasz na rozwiązanie. Tym się właśnie różni matematyka normalna od matematyki szkolnej.
Co do zauważenia że 3^20 daje na końcu 01. Nie wydaje mi się, żeby sposób zaproponowany przez Ciebie miał dać jakieś sensowne rozwiązanie, a nawet jeśli to nie wiem czy byłoby ono prostsze od mojego. Ale zaraz to sprawdze jak coś znajde to dam znać;).

CIEKAWOSTKA. Zna ktoś szybki sposób mnożenia liczb dwucyfrowych z cyfrą dziesiątek równą 1?

1n
1m* m , n jakieś cyfry dla ułatwienia załóżmy żę n + m < 10
--------

na cyfrze setek wyląduje 1, na cyfrze dziesiątek wyląduje n+m a na cyfrze jedności n*m. Jak ktoś nie rozumie niech się przyjrzy zapisowi, a zobaczy skad się to bierze.
Przykładowo (pomijam notacje wykładniczą by nie zamotać) 12*13 = 1 (2+3) 2*3 = 156

Oczywiście można to stosować dla dowolnych m i n, ale trzeba się troszczyć o zwiększanie kolejnych cyfr np
18 * 17 = 1 (8+7) 8*7 = 306

Chyba nie uczą tego w szkole, a może się bardzo przydać.

Tak samo jak podnoszenie w pamięci do kwadratu liczb dwucyfrowych przykładowo
18^2 =(10 + 8)^2 = 100 + 160 + 64 = 324

To taka druga ciekawostka, a także przykład dla tych co twierdzą, że te "cholerne wzory skróconego mnożenia" na nic się nie przydadzą.

alpha_omega [ Generaďż˝ ]

Xerces ----------------> Oczywiście, że tak wygląda poznawanie matematyki - na nabywaniu pewnych składniowych wyobrażeń i doprowadzaniu ich do poziomu intuicyjności. Ale bez przesady - podejrzewam, że tutaj umyka nam jakieś dużo łatwiejsze rozwiązanie.

Zresztą te sposoby rozumowania jakie podajesz wydają się oczywiste - właśnie nabyte na drodze rozwiązywania wielu zadań, choć możliwe do stosunkowo sszybkiego wyprowadzenia na drodze spekulacji. Matematyką się nie zajmuję kierunkowo (w związku ze studiami), ale bawiłem się takimi rozważaniami np. wynajdywaniem zasad w przebiegu kolejnych mnożeń, potęg etc. Tylko, że mam zbyt rozproszoną uwagę :) Zresztą - ja często wynajduję jakiś trick, rozumiem go w pełni, ale mam jakieś poczucie sztuczności, nie wiem skąd się to bierze, ale strasznie mi przeszkadza.

alpha_omega [ Generaďż˝ ]

Fajne są w matmie (nawet szkolne) motywy typu:

Sn=a1[(1-q^n)/(1-q)] dla q nierównego 1

choć ja zawsze zapisuję miast 1-q, q-1 :P

Fajna tu jest rekurencja. A jednak ja mam problemy z dostrzeganiem takich faktów - być może dlatego, że matmę głównie czytam, a nie rozwiązuję prawie zadań :)

Xerces [ A.I. ]

Oczywiście, że tak wygląda poznawanie matematyki - na nabywaniu pewnych składniowych wyobrażeń i doprowadzaniu ich do poziomu intuicyjności. Ale bez przesady - podejrzewam, że tutaj umyka nam jakieś dużo łatwiejsze rozwiązanie.

Nie zaprzeczam, ja na razie takowego nie widzę, a ponadto w niedzielę nie lubię ruszać szarymi komórkami;). No cóż jakoś wpadłem na ten typ rozwiązania i podobne wcześnieje też widziałem, a żadnym super mózgiem matematycznym nie jestem (są lepsi ode mnie). Więc chyba jednak można wpaść na te rozwiązanie.

Zresztą te sposoby rozumowania jakie podajesz wydają się oczywiste - właśnie nabyte na drodze rozwiązywania wielu zadań, choć możliwe do stosunkowo sszybkiego wyprowadzenia na drodze spekulacji.

Dokładnie. Ale dla wielu ludzi takie oczywiste nie są, a w szkole chyba też ich się nie zobaczy. Szkoda, że przykładowo w szkołach nie uczą takich ciekawostek, sztuczek i różnorakich przykładów. A właśnie one mogłyby zachęcać, a nie zniechęcać do matematyki.

Zresztą - ja często wynajduję jakiś trick, rozumiem go w pełni, ale mam jakieś poczucie sztuczności, nie wiem skąd się to bierze, ale strasznie mi przeszkadza.

Znam te uczucie. Ja też jak mam jakieś zagadnienie na którym się opieram, ale nie rozumiem jego dowodu i skąd się ono wzięło to szlag mnie jasny trafia :)

Ciekawostka nr3. Opanowanie sposobu mnożenia podanego w ciekawostce nr.1 było jednym z warunków przyjęcia do szkoły pitagorejskiej (to dla tych, których interesuje historia matematyki:)).

alpha_omega [ Generaďż˝ ]

Dokładnie. Ale dla wielu ludzi takie oczywiste nie są, a w szkole chyba też ich się nie zobaczy. Szkoda, że przykładowo w szkołach nie uczą takich ciekawostek, sztuczek i różnorakich przykładów. A właśnie one mogłyby zachęcać, a nie zniechęcać do matematyki.

Właśnie tego naszemu szkolnictwu nie mogę wybaczyć, że nie pokazało mi w odpowiednim czasie piękna tkwiącego w matmie, a teraz, zaczynać w wieku powyżej 20 lat, jest bardzo trudno. W liceum nie przywiązywałem do tego wagi, bo całe nauczanie matmy oparte było na wkuwaniu i stosowaniu wzorów - żadnego głębszego spojrzenia. I teraz jak widzę nawet jakieś prawidłowości, to mam problemy z podstawami - z szybkim liczeniem, z konceptualizacja potęg, logarytmów etc. Być może, że powinienem po prostu rozwiązywać setki zadań dla nabycie wprawy w tych punktach.

Znam te uczucie. Ja też jak mam jakieś zagadnienie na którym się opieram, ale nie rozumiem jego dowodu i skąd się ono wzięło to szlag mnie jasny trafia :)

Dokładnie. A ja mam jeszcze tak, że przeczytam i zrozumiem jakiś dowód, ale po chwili rozmywa mi się w umyśle jego obraz, potrafię zapamiętać poszczególne kroki dowodu, ale wydaje mi się, że dla dobrego rozumienia matematyki powinienem móc przywoływać obraz jaki towarzyszy chwili w któej ten dowód widzi się całościowo, w pełni. A ja jakoś nie mogę sobie w umyśle zaprogramować tego pełnego widzenia. Poza tym właśnie zaraz wydaje mi się, że coś jest nie tak, że to jest jakieś dziwne, i wszystko się rozpływa - taka samodestrukcja myśli poprzez wątpliwość. Ale to może też brak wprawy i praktyki.

12.03.2006

16:57

[25]

alpha_omega [ Generaďż˝ ]

W dodatku jaki by to dowód nie był - denerwuje mnie, że sam na to nie wpadłem :) To już chyba jakieś skrzywienie psychiczne, które blokuje u mnie rozwój. Podobnie jak skłonność do motania się w szczegółach i tracenia z pola widzenia rzeczy istotnych.

A jak to jest u Ciebie? Jak popełniasz błąd to cofasz się, wykorzystujesz to do poprawienia swojego rozumowania i próbujesz od innej strony; czy się irytujesz i rozpraszasz?

Xerces [ A.I. ]

Chyba chciałeś powiedzieć indukcja? Tak ten wzór się udowadnia, ale indukcja tylko dowodzi prawdziwości, a nie wyprowadza samego wzrou. To może pomogę:)?

Wzór na sumę n wyrazów szeregu geometrycznego dla n<>1:

a1 + a1*q +..... + a1*q^(n-1) = a1 * (1 + q + ... + q^(n-1))

Pomnóżmy to wyrażenie razy 1-q

a1 * (1 + q + ... + q^(n-1))(1 - q) = a1[(1 + q + .... + q^(n-1) - (q - q^2 - .... -q^n) - ] =
= a1[ 1 - q^n) ]

a1[ 1 - q^n) ] to suma pomnożona przez 1-q. No wiec by dostać sume dzielimy przez 1-q

Sn=a1[(1-q^n)/(1-q)]

Co do mnie to w podstawówce miałem świetną nauczycielkę, a w średniej za przeproszeniem...... W każdym razie miałem braki na I roku studiów i musiałem je odrabiać, ale czasami wydaje mi się, że pewnych rzeczy nie udało się wymazać. Przykładowo zbyt często jak na mój gust robię błędy rachunkowe.
I to jest właśnie smutne, że to szkolnictwo nie potrafi za nic pomóc ludziom w znalezieniu pasji a wręcz na odwrót.

Xerces [ A.I. ]

A jak to jest u Ciebie? Jak popełniasz błąd to cofasz się, wykorzystujesz to do poprawienia swojego rozumowania i próbujesz od innej strony; czy się irytujesz i rozpraszasz?

Oj to naprawdę zależy od dnia i liczby prób :). Zazwyczaj żyje zasadą : "masz prawo czegoś nie wiedzieć", ale czasami mam taki dzień, że jak mam błąd to szlag mnie trafia. Generalnie jednak staram się na tych błędach uczyć.

W dodatku jaki by to dowód nie był - denerwuje mnie, że sam na to nie wpadłem

Jak widzisz dowód wielkiego twierdzenia Fermata wyprowadzonego przez Wilesa też ?:) Pytam bo ma 200 stron A4 i zahacza o teorię krzywych eliptycznych i topologie

alpha_omega [ Generaďż˝ ]

Xerces --------------->

Ale masz coś takiego:

an=a1*q^n

an/q-1=a1*q^(n-1)+(a1*q^(n-1))/(q-1)

z kolei teraz (a1*q^(n-1))/(q-1) możesz rozpisać w ten sam sposób itd. itd. i w konsekwencji dodajesz wszystkie wyrazy ciągu - to jest właśnie rekurencja i to nie było dla mnie od razu widoczne, a to się kryje w tym wzorze. Ogólnie - ja nigdy nie rozumuję w taki sposób jak podałeś - tj. na samej składni języka, nie mogę się tego nauczyć.

Xerces [ A.I. ]

Faktycznie masz rację co do rekurencji.

Ogólnie - ja nigdy nie rozumuję w taki sposób jak podałeś - tj. na samej składni języka, nie mogę się tego nauczyć.

Nie wiem co studiujesz, ale jak już powiedziałeś najpewniej nie jest to matematyka. Wiesz u nas jest taki bardzo nieprzyjemny przedmiot dla pierwszoroczniaków, który się nazywa "Wstęp do Matematyki" i jest to przedmiot, który kosi większość pierwszoroczniaków. U nas jest taki tryb, że Ci co go zaliczą na pierwszym roku bez warunku mają "zaszczyt" pozostać na studiach magisterskich (mnie się udało:)), a pozostali - spadek na licencjat. Na czym polega ten przedmiot? Że właśnie jest na nim wiele styczności z zagadnieniami o których mówisz. Generalana idea jest taka aby na przykładach poznawać dowody i opanować intuicyjne rozumienie matematyki. Właśnie wiele ludzi ma z tym problem nawet Ci co w szkołach byli bardzo dobrzy. Tłuką na tym przedmiocie niemiłosiernie. No cóż, zależy im żeby w końcu nauczyć właśnie tej składni języka i że jak widzisz jakiś wzór czy kwantyfikator to żeby wiedzieć co on robi i co się tam dzieje.

Nie zapomne jak u nas analizie (inna trochę niż na politechnikach - mniej zalgorytmizowana) mieliśmy całą masę kartek z kwantyfikatorami z pewnymi wzorkami i mieliśmy odpowiadać czy to prawda czy fałsz. Na początku było ich mało,a potem więcej.
Przykładowo: An A E kolejno ciąg An, duży i mały kwantyfikator (szkoda że to forum nie obsługuje Latexa)

(A n>0) 0 < An < 10 czy z tego wynika (E n>1000)(An < 9)

Niby banał, ale to zadanie z początku listy. Myślę, że to rozumienie składni języka i co się kryje we wzorach to chyba też kwetsia doświadczenia, ale nie będę przeczył - to cholernie ciężkie. Mi też trafiają się wzory w które patrzę jak sroka w gnat.