--> Archiwum Forum
lukas_lukas [ Pretorianin ]
granica funkcji
Hej,
Mam prośbe, pomóżcie mi rozwiązać taką granice, tylko nie stosując reguły de'Hospitala:
lim tg x / (Pi^2 + x^2)
przy x dążącym do Pi
Normalnie wszystkie wzory z trygonometrii przeglądnalem i w zaden sposób nie umiem tego rozwiązać.
Prosze pomóżcie.
Z góry dzienks:)
snoopi [ Generaďż˝ ]
Jesli wszystko dobrze przepisalem to wychodzi 0. Podstaw po prostu Pi i policz. Tg w Pi to 0, na dole masz 2Pi^2, czyli lim=0....
Zapewne cos namotałem bo takie coś to za prosto by było;)
lukas_lukas [ Pretorianin ]
:)
tylko problem w tym, ze w mianowniku wychodzi "0", a nie można dzielić przez "0", więc trzeba sie jakoś tego mianownika pozbyc:)
snoopi [ Generaďż˝ ]
No ale w mianowniku jest przecież Pi^2 + x^2. Za x podstawiamy Pi i mamy Pi^2+Pi^2 czyli 2Pi^2.... tak czy nie bo już zgupiałem.... ?
lukas_lukas [ Pretorianin ]
sorrki, to ja sirota jestem i zle przepisalem
ma być oczywiście
lim tg x / (Pi^2 - x^2)
przy x dążącym do Pi
sorry za zamieszanie:)
lukas_lukas [ Pretorianin ]
czy jakiś mózg matematyczny rozkminil może ta granice???
plizzzzzzzzz
konioz [ Taternik ]
lim x--> pi [tgx / (pi^2 - x^2)]
tg x = sin x / cos x
czyli jak podzilisz jeszcze licznik i mianownik to:
lim x--> pi [ (sinx/cosx) / (pi^2 - x^2)] = lim x-->pi [ ([sinx/x] / cosx) / ([pi^2 / x] - x)
wiedzac, ze lim x--> pi [sinx / x] = 1, cosx = -1, [pi^2 / x] = pi, -x = -pi:
limx --> pi [ ([sinx/x] / cosx) / ([pi^2 / x] - x) = [1/-1] / [pi -pi] = -1 / pi = - nieskon.
lukas_lukas [ Pretorianin ]
dzięki Koniz:)
wszystko PRAWIE dobrze:)
tylko jednego nie rozumiem, już przy samym końcu to co wyboldowalam, a mianowicie dlaczego:
[1/-1] / [pi -pi] = -1 / pi = - nieskon
dla mnie "pi - pi" to jest "0", a nie pi????
mozesz mi to wytłumaczyc???
Kijano [ Generaďż˝ ]
to bedzie raczej tak
(tgx)' = (sinx/cosx)' = (sinx/cosx)' = [(sinx)'cosx - (cosx)'sinx]/cos^2x = 1/cos^2x
(PI^2 - x^2)' = -2x
Wynik = 1/[-2x*cos^2x] = 1/2PI
lukas_lukas [ Pretorianin ]
dzieki Kijano,
tylko nie moge tego rozwiazac met. de'hospitala, to jest zadanie egzaminacyjne i takie bylo polecenie.
jesli znasz jakas inna metode bez stosowania pochodnych, to prosze o pomoc
Kijano [ Generaďż˝ ]
aha nie doczytalem :D
konioz [ Taternik ]
Tak przekrecilem oczywiscie:/ Powinno byc:
[1/-1] / [pi -pi] = -1 / 0 = i tu wlasnie lipa:) bo jak x dazy do pi+ to calosc dazy do +niesk., a jak dazy przez pi- to do - niesk.
Z kolei Kijano chyba dobrze policzyl poza koncowym wynikiem ale to tylko (-) zapomnial. Powinny sie pokrywac.
Nie wiem w sumie czemu? Moze jednak jakis blad zrobilem? Ale wydaje mi sie, ze dobrze, przejrzalem pare razy.
lukas_lukas [ Pretorianin ]
czy ktos ma moze jeszcze jakas twórczą myśl, bo nie jestem do konca przekonany czy to jest dobrze rozwiązane:]
Kijano [ Generaďż˝ ]
hmmm moze tak
tgx - zostawiamy
zajmiemy sie (PI^2-x^2)
(PI^2-x^2) = [sin(0) - x] [sin(0) + x] = sin^2(0) -xsin(0) + xsin(0) -x^2 = 1-cos^2(0) + x^2 = 1 - Pi^2
teraz
tgx/(1-PI^2) = 0
konioz [ Taternik ]
Dobra mam poprawne rozwiazanie:D
Pomylilem wczesniej twierdzenie bo zeby lim sinx/x = 1 to x musi dazyc do zera, a dazylo do pi.
Teraz mozna zrobic tak:
sin x = sin (pi -x)
wtedy lim x--> pi [sin (pi - x) / (pi - x)] = 1
to lim x--> pi [ (sin x / cos x) / (pi^2 - x^2)] = lim x--> pi [ (sin (pi -x) / cos x) / (pi - x)*(pi + x)] =
= lim x--> pi [ [sin (pi - x) / (pi - x)] / [cos x * (pi + x)]] = 1/ (-1* 2pi) = -1 / 2pi
Co zgadza sie z wynikiem Kijano z de'hospitala.
lukas_lukas [ Pretorianin ]
Konioz ---->wielkie dzięki:):)
teraz jest dobrze:)
ty to masz łeb:) tylko pogratulowac:)
pozdro!!
frer [ Generaďż˝ ]
lukas_lukas --> Ja to miałem na egzaminie. Czyżbyś miał z dr. W. na PK czy to tylko zbieg okoliczności?? :)