indukcja matematyczna

grabcia2006 [ Centurion ]

indukcja matematyczna

Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, że każda liczba naturalna n ≥ 5 spełnia nierówność

2^n > n^2 + n – 1.

Moze ktos mi to wyjasni??

Xerces [ Konsul ]

Po ostatnim zdaniu zakładam, że nie bardzo wiesz co to jest indukcja więc wytłumacze może od podstaw. Masz udowodnić nierówność dla n=>5 (zakładam, że to jest nierówność słaba?). Na początku sprawdzasz daną nierówność dla "pierwszego" elementu tego łańcucha czyli w tym wypadku dla n=5. Czyli zwyczajnie podstawiasz i masz:

2^5 > 5^2 + 5 - 1 <=> 32 > 29

Czyli dla n=5 dana nierówność jest prawdziwa. Teraz sprawdzasz warunek czy jeżeli dla danego n dana nierówność jest prawdziwa to czy jest prawdziwa dla n+1. Udowodnienie prawdziwości tego twierdzenia spowoduje udowodnienie prawdziwości danej nierówności dla każdego n=>5. Bo skoro wykazałas parwdziwość dla 5 to wtedy automatycznie wiesz, że nierównośc jest prawdziwa dla 6. Jeżeli jest dla 6 to jest prawdziwa to też dla 7 itd.

Z założenia:
2^n > n^2 + n - 1

Masz udowodnić:
2^(n+1) > (n+1)^2 + n

Dla uproszczenia zapisu mamy:
2^n*2 > n^2 +3n + 1

No więc jedziemy

2^(n+1) = 2^n * 2 =

Z założenia
=2^n * 2 > (n^2 + n - 1) * 2 = 2n^2 + 2n - 2 =

Dla ułatwienia rozpisujesz
= n^2 + 2n + 1 + n^2 - 3 = (n+1)^2 + n^2 - 3 > (n+1)^2 + n

Czyli 2^(n+1) > (n+1)^2 + n

więc jeśli dla n nierówność jest prawdziwa więc dla n+1 też. Tak więc dla każdej liczby naturalnej n=>5.
Pozostaje udowodnić nierówność, którą się posłużyłem w ostatnim przekształceniu

n^2 - 3 > n

Z założeniem, że n=>5. Moża to zrobić indukcyjnie, albo rozwiązać zwykłą nierówność kwadratową.