--> Archiwum Forum
grzesiek16 [ Feluś ]
Planimetria rozszerzona - proszę o pomoc ...
Powtarzam sobie materiał do rozszerzonej matury i napotkałem na problem - mam obliczyć pole zamalowanej figury - okrąg wpisany w kwadrat o boku długości 'a' oraz mniejszy okrąg w lewym górnym rogu kwadratu. Promień dużego okręgu jest oczywisty - 1/2a, przez co pole jest równe (1/4)a^2*pi. Tylko za cholerę nie wiem jak dojść do promienia tego mniejszego okręgu ... Czy ktoś mógłby mi pomóc, bo naprawdę wysiadam już niestety ...
cronotrigger [ Rape Me ]
IMO promień tego małego kółka to jedna dwunasta .a. pierwiastków z dwóch
cronotrigger [ Rape Me ]
średnica tego kółeczka to jedna szósta przekątnej kwadtratu czyli promień to 1/12 ..
ale ja tam jestem w 3gim i sie na matmie nie znam :F
grzesiek16 [ Feluś ]
cronotrigger ---> a skąd wziąłeś, że jest to 1/12 a pierw. z 2? a pierw. z 2 to okej, ale skąd ta 1/12?
cronotrigger [ Rape Me ]
znaczy wiesz ja tam teorii z liceum nie znam i jak wy to tam liczycie... po prostu patrze na obrazek i widze ze wzdłuż przkątnej mieści się 6 średnic czyli 12 promieni tego kółeczka ;)
Czamber [ Czamberka ]
promień tego dużego okręgu to R = 1/2a
przekątna kwadratu to
d = a*pierw[2],
więc połowa przekątnej to a*pierw[2]/2
niech r-promien małego okręgu
wtedy mamy z rysunku:
1/2d = 2r + R, więc:
a*pierw[2]/2 = 2r + 1/2a
2r = a*pierw[2]/2 - 1/2a
2r = a(pierw[2] - 1) / 2
r = a(pierw[2] - 1) / 4
pole wiadomo jak policzyć.
^Piotrek^ [ Toilet Tantalizer ]
Hm, z matmy jestem kiepski ale na moje oko dzieląc bok kwadratu na dwa otrzymujesz promień dużego koła. Wtedy tylko odejmujesz od połowy przekątnej kwadratu promień dużego koła i masz średnice małego kółka.
Rajt?
cronotrigger [ Rape Me ]
i wszystko jasne...
mówiłem, że to nie ten poziom dla mnie :P
grzesiek16 [ Feluś ]
Czamber ---> z rysunku to za bardzo nie wynika, ale promień czy też średnica małego okręgu nie sięga wierchołkowi kwadratu, czyli połowa przekątnej kwadratu nie jest równa promieniowi dużego okręgu i średnicy małego - brakuje takiego malutkiego kawałeczka :]
Czamber [ Czamberka ]
ahh, zle zrobilam, faktycznie :) ale teraz jak mamy to wyliczone r [ przy moim oznaczeniu, ale nie jest to promień tego małego okręgu ] możemy z tw pitagorasa wyznaczyć promień :)
Cainoor [ Mów mi wuju ]
Right, Czamber!
Czamber [ Czamberka ]
jak mam r = a(pierw[2] - 1) / 4 to:
niech r1 - promień szukanego okręgu [ah, te oznaczenia :P ]
wtedy:
r1^2 + r1^2 = r^2 [ robi nam sie tam mały trójkąt równoramienny, prostokątny o ramionach r1 i przeciwprostokątnej r]
2r1^2 = r^2
grzesiek16 [ Feluś ]
Czamber - nie za bardzo, bo (1/2)a pierw. z 2 minus R nie daje nam czystego r - r to średnica małego okręgu plus 'końcówka' przekątnej, więc nie bardzo kumam, co masz na myśli z tym twierdzenie pitagorasa?
Czamber [ Czamberka ]
zaraz zrobie rysunek może :)
Cainoor [ Mów mi wuju ]
grzesiek16 - a no to, że "to coś plus końcówka przekątnej", to przeciwprostokątna w takim małym trójkąciku :)
Moby7777 [ Konsul ]
A ja opisze sprawe po swojemu :)
Na czerwono masz zaznaczone promienie malego kola (tego Ci wlasnie brakuje). Odcinek oznaczony na niebiesko jest rowny r*sqrt(2). Tak wiec przekatna kwadratu (sqrt(a) jakby ktos pytal :P) moze byc zapisana tez jako: r*sqrt(2)+r+R, gdzie R to promien duzego kola, r to promien malego a sqrt to pierwiastek kwadratowy.
Czamber [ Czamberka ]
na moim rysunku mamy:
OA - połowa przekątnej kwadratu, czyli OA = a*pierw[2] / 2
OB - promień dużego okręgu, czyli OB = a/2
liczę AB, gdzie B jest punktem styczności tych dwóch okegów:
OA = AB + OB
AB = OA - OB = ... = a(pierw[2] - 1) / 4
AS = 1/2 AB, gdzie S jest środniek małego okręgu.
AS = a(pierw[2] - 1) / 8
ponieważ trójkąt ACS jest prostokątny i równoramienny, gdzie ramiona tego trójkąta wynoszą r - promień małego okręgu [ r = AC = CS ] mamy:
2r^2 = AS^2
... wyliczamy r.
mam nadzieję, że rysunek jest czytelny i nic nie pomyliłam :)
grzesiek16 [ Feluś ]
Może też rysunek zapodam - bo nadal uważam, że źle liczycie ...
childlike [ Konsul ]
a moze z podbienstwa trojkatow??
(rysunek) trojkat DS1E jest podobny do trojkata DSF
i z tego mamy proporcje:
polowa przekatnej [a*pierw(2)/2] do promnienia duzej a/2 ma sie tak jak odcinek DS1 do promnienia malej
DS1= a*pierw(2)-(a*pierw(2)/2+a/2‹promnien duzej›+r‹promnien malej›)
dosc zagmatwane wyjdzie ale jest jedno rownanie i jedna niewiadoma wiec powinno wyjsc ale znajac zycie jest jakis prostszy sposob
Cainoor [ Mów mi wuju ]
grzesiek - rysunek i wytłumaczenie Mobiego moze najlepiej do Ciebie trafią :)
grzesiek16 [ Feluś ]
Moby7777 --->ja to muszę przy pomocy zmiennej 'a' wyliczyć
Czamber [ Czamberka ]
poprawka do mojego postu:
AB = a(pierw[2] - 1) / 2, więc AS = a(pierw[2] - 1) / 4 a dalej tak samo :-)
Cainoor [ Mów mi wuju ]
grzesiu - Zrób sobie 10 minut przerwy. Potem wróć. Rozwiązanie już tu jest :)
Moby7777 [ Konsul ]
no to za problem??
masz uklad rownan:
R=a/2
r*sqrt(2) + r + R =a*sqrt(2)
No i do tego oczywiscie wzory na pola kol. Jedyna niewiadoma to male r... pozwolisz ze zadanie wyliczenia jej z podanych rownan Ci pozostawie jako proste cwiczenie? :>
grzesiek16 [ Feluś ]
Czamber ---> AS nie jest równa 1/2 AB - S jest środkiem okręgu, ale nie połową odcinka AB
sorry, ale nie nadążam za Wami, więc posty są z opóźnieniem
childlike [ Konsul ]
Moby--->ma racje mowilem ze musi byc cos prostszego
btw po przeliczeniach wynik wyjdzie taki sam ;]
Lander1 [ Konsul ]
Witam,
Ja też trenuje do maturki i mam takie zadanie. Kiedys juz je rozwaliłem pod okiem nauczyciela ale teraz mam trudności. otóż:
Suma n początkowych wyrazów ciągu An wyraża się wzorem:
Sn=2n^2 - 3n
Oblicz sumę wszystkich tych wyrazów ciągu An, których wskaźniki są dwucyfrowymi liczbami parzystymi.
odpowiedź to:9495
proszę o pomoc :)
Czamber [ Czamberka ]
racja, znów sie pomyliłam [ tak to jest jak sie szybciej pisze niż mysli ]ale to nie zmienia faktu, ze mozna to wyliczyć w ten sam sposób:
po prostu: AO = AB + OB, AB = AS + r więc AO = AS + r + OB [ gdzie r jest promieniem okręgu małego ]
AO - mamy dane
AB - mamy dane [ wyliczamy je ]
wiec mam pierwsze równanie: AO = AS + r + OB, gdzie niewiadomymi są AS oraz r
drugie równanie to: 2r^2 = AS^2 [ z trójkąta ACS prostokatnego i równoramiennego ]
więc mamy uklad równań z dwiema niewiadomymi, które można wyliczyć:
AO = AS + r + OB
2r^2 = AS^2 [ niewiadome to: AS oraz r ]
teraz musi byc dobrze :) chyba :P
Lander1 [ Konsul ]
Czamber --> ŹLE! AS = 1/2 AB, gdzie S jest środniek małego okręgu. Przyjrzyj się jeszc ze raz rysunkowi,
Cainoor [ Mów mi wuju ]
Lander - mylisz się.
Lander1 [ Konsul ]
Czamber --> To nie do ostatniego posta :-).
Ostatni sprawdzam :-)
Lander1 [ Konsul ]
Żebyśmy się zrozumieli :-) uważam, że zdanie:
"AS = 1/2 AB, gdzie S jest środniek małego okręgu"
było błędne.
Cainoor [ Mów mi wuju ]
aa... ja też tak uważam :)
Lander1 [ Konsul ]
A mógłby ktoś zobaczyć to moje?
peanut [ kriegsmaschine ]
odleglosc od srodka duzego okregu do wierzcholka kwadratu = a*sqrt(2)/2 = x+2r+1/2a; x-odleglosc od wierzcholka do mniejszego kola, lezaca na przekatnej kwadratu.
z talesa: x+r/r = (a*sqrt(2)/2) / 1/2a
z tego obliczasz gladko x, a potem podstawiasz do pierwszego rownania. powinno sie udac, jesli dobrze rozkminilem to;)
grzesiek16 [ Feluś ]
Kurde, ale matoł ze mnie ... wystarczyło zrobić przybliżenie rysunku ;) i wyliczyć :]
Moje rozwiązanie - wsparte o rozważania Czamber i Moby7777:
tak jak już Moby7777 wspomniał - to coś plus okręg małego jest równe r*sqrt[2], a więc
r*sqrt[2] + r + (1/2)a = (1/2)a*sqrt[2], i dalej rozwiązując to równanie, mamy:
r = (1/2)a(3 - 2*sqrt[2])
kolejno obliczając, pole małego okręgu wynosi (pi)(1/4)a^2(17 - 2*sqrt[2]), a z polem dużego okręgu, po przekształceniach mamy (1/2)(pi)a^2(9 - 6*sqrt[2]), czyli tak jak jest w odpowiedziach.
Dziękuję bardzo za tak liczne wskazówki i pomocne rady :] Kurde, jak dostanę takiego zaćmienia na maturze, to się chyba pochlastam :]
grzesiek16 [ Feluś ]
Jeszcze szkica zapodam :]
Czamber, Moby7777 ---> dzięki once again :]
grzesiek16 [ Feluś ]
Szkic się zapodział gdzieś ... :]
The Dragon [ Eternal ]
Tak po miszczosku liczac to 0.8081A^2 :)
Lander1 [ Konsul ]
Ponawiam moją prośbę:
Ja też trenuje do maturki i mam takie zadanie. Kiedys juz je rozwaliłem pod okiem nauczyciela ale teraz mam trudności. otóż:
Suma n początkowych wyrazów ciągu An wyraża się wzorem:
Sn=2n^2 - 3n
Oblicz sumę wszystkich tych wyrazów ciągu An, których wskaźniki są dwucyfrowymi liczbami parzystymi.
odpowiedź to:9495
proszę o pomoc :)
grzesiek16 [ Feluś ]
Lander1 ---> czegoś nie jarzę, wskaźniki to 'n' tak? Czyli np. n10,n12, itd, a co za tym idzie obliczyć sumę wyrazów a(n10),a(n12), itd ?
Lander1 [ Konsul ]
tak, w sumie jest ich 45.