--> Archiwum Forum
Pirix [ ! KB ! Góry górą ]
Dwa zadania z matematyki - pilne
Witam!
Mam ogromną prośbę do forumowiczów.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch poniższych zadań.
Zadanie 1
Załóżmy, że funkcja f(x) =/= 0 różniczkowalna w każdym punkcie, spełnia warunek
f(x+y) = f(x)f(y)
dla dowolnych x, y. Wykazać, że:
f'(x) = Cf(x)
gdzie C jest pewną stałą.
Znak"=/=" oznacza "nie równa się".
Zadanie 2
Niech
f(x)= ‹x^n * sin (1/x) dla x=/=0, 0 dla x=0›
Znaleźć najmniejsze takie n, że:
a) f jest różniczkowalna w punkcie x=0
b) f ma ciągłą pochodną w punkcie x=0
Bardzo proszę o rozwiązanie tych dwóch zadanek. Są one dla mnie bardzo ważne.
Z góry dziękuję!
Pozdrawiam Pirix!
Pirix [ ! KB ! Góry górą ]
Nie wiem dlaczego tak się nie wyświetliło, ale w określeniu funkcji w drugim zadaniu powinny być nawiasy klamrowe, a są jakieś dziwne znaczki.
Pirix [ ! KB ! Góry górą ]
Może jednak ktoś wie jak to zrobić????
_Robo_ [ Generaďż˝ ]
Mozesz napisac, jaka jest dokaldnie roznica miedzy popunktami a i b w drugim zadanku?
Na razie wyglada to tak:
liczysz pochodzna wychodzi pewnie x^(n-2)*(xsin(1/x)-cos(1/x))
stad wynika ze n>=3 czyli odpowiedz 3.
Dopiero dla 3 istnieje pochodna (czyli granica przy x dazacym do zera), na dodatek ta granica jest zero wiec pochodna jest ciagla z punkcie x=0. Pewnie sie gdzies walnalem bo niepodoba mi sie, ze opowiedz na a) i b) jest taka sama.
Immortal_Daemon [ Konsul ]
kup sobie kalkulator graficzny
TO JEDYNE 200 zł co to jest na ciebie
Pirix [ ! KB ! Góry górą ]
Robo-----> różnica jest taka, że pochodna nie musi być ciągła. W punkcie a) nalezy sprawdzić dla jakiego n funkcja f ma pochdną - niekoniecznie ciągła. W b) nalezy znaleźć najmniejsze n dla którego jest ta pochodna ciągła. Twoje rozwiązanie dotyczy podpunktu b). To rozwiązanie nawet zgadza się z moim do którego doszedłem przed chwilą. Natomiast podpunkt a) ma według mnie inne rozwiązanie. Według mnie i mojego kolegi, z którym to rozwiązywałem prawidłową odpowiedzią w a) jest n=1.
A masz jakiś pomysł do zadania 1?
_Robo_ [ Generaďż˝ ]
No moze, dawno granic nie liczylem i pozapominalem jak sie te ciekawsze liczy:) (dla n=1 nie jest taka oczywista) Poza tym nie mam teraz po reka podrecznika. Co do pierwszego to na 99% kiedys udowadnialismy ze taka funkcja jest tylko i wylacznie f-cja wykladnicza. Ale nie pamietam dowodu... Ale wiedzac to zadanie jest raczej trywialne :)
Pirix [ ! KB ! Góry górą ]
Robo----->to pierwsze zadanie spełnia funkcja e^x, ale to jest przykład funkcji, a nie dowód. Dowód oparty na tym, że dla jakiejś konkretnej funkcji jest to prawda nie jest dowodem bo zawsze można znaleźć kontrprzykład, który taki dowód obali. Dowodzić tego trzeba na wzorach ogólnych - nie podstawiając konkretnych funkcji.
_Robo_ [ Generaďż˝ ]
Nie zrozumiales, co napisalem. Udowodnilismy kiedys, ze _jedyna_ funkcja ktora spelnia f(x+y)=f(x)f(y) to f-cja wykladnicza. Jak myslisz co to jest e^x? Ale dowodu nie pamietam, a nie mam jeszcze przez najblizszych kilka godzin jak poszukac.
Pirix [ ! KB ! Góry górą ]
Robo---->to sorki, faktycznie Cię źle zrozumiałem:( Niestety za kilka godzin to mi już nie będzie raczej potrzebne - za godzinę mam to zdać:( I mam cichą nadzieję, że się uda:) Oby była prawdziwa. I obym dostał inne zadanie:)