Z Cyklu Znalezione W Sieci: Algebra Dresow, Bajka Noworoczna, Bajka O Wszetecznych Macierzach I Wielkim Algebryku.

25.10.2003

21:02

[1]

Pik [ No Bass No Fun ]

Z Cyklu Znalezione W Sieci: Algebra Dresow, Bajka Noworoczna, Bajka O Wszetecznych Macierzach I Wielkim Algebryku.

ALGEBRA DRESÓW

Dresy tworzą przestrzeń dresową. Dresem tworzącym przestrzeń dresową, czyli
dresorem jest dres pomnożony przez odwrotność długości własnego bejsbola.

Dresy cechuje asocjacyjność (chętnie łącza się w grupy, przy czym obojętne
jest, czy przechodnia biją razem dres1 i dres2, a dres3 pomaga, czy też
odwrotnie). Ważna cechą jest także komutatywność, co znaczy, że dresy mogą
bić naprzemiennie.

Ważnym aksjomatem jest postulowanie istnienia dresa zerowego (mało
trenował), oraz dresa przeciwnego (w każdym stadzie trafi się czarna owca).

Działania dresów (i na dresach) tworzą dresową przestrzeń funkcyjną. Można
udowodnić, że każda funkcja dresowa jest rozwijalna w szereg, jednak
przeprowadzenie takiego dowodu jest w najwyższym stopniu niewskazane. Równie
niepożądane jest dowodzenie, że każda funkcja dresowa w przestrzeni dresowej
(ob.) jest bejsbolizowalna.

Bejsbolowa niezależność dresowa. Mówimy, ze dresy są bejsbolowo niezależne,
jeżeli nie musza pożyczać kija od kolegi. Ilość dresów bejsbolowo
niezależnych nazywamy wymiarem przestrzeni dresowej. Bar jest to zbiór
dresów bejsbolowo niezależnych. Rozkład dresa w barze jest jednoznaczny.

Dresowe przestrzenie bejsboliczne.
Aksjomatykę d.p.b po raz pierwszy sformułowali Haustodt i Chtachet (nie
mieli już drugiej okazji). Znamienne jest także to, że znany badacz
topologii dresów, Japończyk Taki-Bourbaki nazwał d.p.b przestrzeniami
polskimi.
Def. Niech X będzie pewnym zbiorem dresów (x), a P zbiorem przechodniów (p).
Funkcję x(p), odwzorowującą P na R (reanimacje) taką, że każdy x zawiera się
w R (przychodzi dobić ofiarę), przy czym x jest nieujemny w sensie
Wassermanna, spełniającą warunki:
1 Symetrii: nie ma znaczenia, czy przechodnia bije dres1, czy dres2;
2 Nierówności sił: dwa dresy: dres1, bijący przechodnia x i y, oraz dres2,
bijący przechodnia y i z, SA razem co najmniej tak samo silni (a może i
silniejsi) niż dres bijący przechodniów x i z.
3 Tożsamości położenia: jeżeli przechodzień bity jest jednocześnie przez
dwóch dresów, to znaczy, że są oni w tym samym miejscu, nazywamy bejsbolową
odległością cmentarną.
Jeżeli spełnione są tylko warunki 1 i 2, to funkcje te nazywamy bejsbolową
odległością kaleką (przechodzień p zdąży uciec przed drugim dresem, ale
okupi to ciężkim uszkodzeniem ciała).

Ciągi Dresy'ego
Ciąg dresów nazywa się ciągiem Dresy'ego, gdy dla każdego silnego
(niezerowego) dresa w ciągu alkoholowym można znaleźć dwu silnych
przechodniów, którzy i tak nie daliby mu (z dokładnością do znaku) rady.
Ćwiczenia:
1 Pokazać, że p.d.b jest zupełna.
2 Pokazać, że na granicy ciągu Dresy'ego rzadko kiedy stoją WOPiści



ORYGINAŁ matematycznej "Bajki Noworocznej",
źródło: "Delta" - rok 1983

Za siedmioma przestrzeniami, za siedmioma podprzestrzeniami dana byla pewna unormowana, dobrze uporzadkowana rodzina wektorów w1, w2, w3, ... Nie byly one przynalezne do zadnej wartosci wlasnej, a mimo to rodzina zyla zgodnie i szczesliwie. Nie mieli zadnych klopotów prócz jednego: jak zarobic na zycie.
Od okresu do okresu, od -p do +p pracowali w pocie czola w bazie wielowymiarowego Sympleksu - wyzyskiwacza, darmozjada i homotopijcy, który cale swoje zycie przezyl wedlug zasady najmniejszego dzialania. I ruszyli sie wektorowi bracia, striangulowali Sympleks, zrobili z niego Kompleks, ale doli swej nie polepszyli. Wyczynia on z nimi swoje homologiczne sztuczki: a to na brzeg wyrzuci, a to obszar okreslonosci do punktu sciagnie...
- "Niedobrze zyc z takim Kompleksem" - doszli do wniosku bracia. Nie ma na niego zadnych ograniczen. I umyslili trzej najstarsi bracia w1, w2, i w3 wyruszyc w swiat, obejsc wszystkie przestrzenie i wszystkie podprzestrzenie, wszystkie powierzchnie i rozmaitosci i znalezc dogodny i prawy uklad wspólrzednych. Poklonili sie po raz ostatni starej Macierzy, objeli ja za kolumny, a potem wyszli na czysto potencjalne pole i ruszyli ze skokiem h/2 dokad oczy poniosa. p ida, 2p ida, 3p ida, a potencjal wokól nich maleje i maleje. Popatrzyli bracia, a tu przed nimi na gladziutkiej plaszczyznie zespolonej, bieleje potok stabilny. Niezwyczajny to potok bo w podkowe Smale'a sie zawijajacy.
- Ech, polowic by rybki - westchnal w1.
- A czemuz by nie? - zgodzili sie bracia. Z punktu brzegowego zarzucili swa siec epsilonowa, która juz dziad ich dziada w nieosrodkowych oceanach domykal. A trzeba wam wiedziec, ze drzewiej nie takie epsilony jako dzis bywaly. Patrza bracia: w sieci ryba-sigma sie trzepocze, ludzkim glosem przemawia:
- Nie gubcie mnie, mili moi, wypusccie mnie do wody a jeszcze sie wam za to odwdziecze.
Wypuscili ja bracia na wolnosc, a sami poszli dalej. Uszli troche wiecej niz 0 troche mniej niz A, patrza: przy drodze maly parametr stoi, z glodu placze. Ulitowali sie nad nim bracia, nakarmili. Zaczal rosnac parametr, a gdy osiagnal lokalne maksimum, poklonil sie braciom w pas i powiada:
- "Pamietajcie o mnie, a ja jeszcze moge sie wam przydac". I przepadl tak jakby go w ogóle nie bylo.
Pociemnialo nagle niebo, slonce schowalo sie za czarna chmure. Zawirowaly w powietrzu liscie Kartezjusza, zakrecily sie turbulentne wiry, na polach wektorowych zakolysaly sie snopy koherentne, zdzbla z nich wiazkami leca. Ogniste blyskawice rozdarly niebieska sfere Riemann'a. Obejrzeli sie bracia, szukaja schronienia. Patrza: przy drodze stoi chatka na kurzej lapce.
- "Chatko, chatko, odwróc sie do nas plusem, do lasu minusem!" - Zakolysala sie chatynka, zakrecila. Weszli bracia do srodka i dusza im sie raduje. Stoi na srodku izby stól i ugina sie od jadla. Podjedli bracia, pytaja: - "Jest tu kto? Odezwij sie w imie Boze". Patrza, a zza pieca wychodzi kudlaty stwór: ni to wektor, ni to skalar, szczecina pokryty, zakuty w lancuchy.
- "Witajcie, milency moi. Jestem dobrym czarodziejem, a nazywam sie Ko-Szi Mak-Loren. Juz pól zycia tu siedze pod straza okrutnej Nabli-Jagi, bo nie stosowalem sie do jej zasady nieoznaczonosci... "
Nie zdazyl dokonczyc, bo oto zaswiszczalo i zaszumialo cos za chatka. "Uciekajmy" - wykrzyknal Ko-Szi Mak-Loren. Rozkuli go bracia i biegna wszyscy ile sil w nogach. Obejrzeli sie za siebie i widza: leci po niebie przepiekna Delta. Uderzyla Delta o ziemie, stanela na glowie i zmienila sie w straszna Nable-Jage. "Czuje, czuje, wektorami tu pachnie".
Ale wektorów i Ko-Szi Mak-Lorena juz ani sladu.
Wyprowadzil Ko-Szi braci na geodezyjna, pokazal droge do Dziwogrodu (który bedziemy oznaczac przez Divgrad), a sam poszedl swoja droga. Poszli bracia po linii geodezyjnej, a przed nimi rosly mury Divgradu, podobnie jak rosnie wykres tangensa przy argumencie dazacym do p/2. A rozbiegaly sie z nich promienie zlociste, tak jak rozbiezne sa sumy czastkowe szeregu harmonicznego. Zaszli bracia do otwartej (a nie domknietej) gospody "Pod Pierwiastkiem", pogadali z karczmarka, gruba Tylda, a ona opowiedziala im o wielkim nieszczesciu, jakie nawiedzilo ich gród. Ksiaze Divgradu, wielki Tensor Homomorficzny X, dobry, kowariantny pan, wyprawil Bal Niezmienniczy z okazji 16 rocznicy urodzin swej córki, pieknej Rezolwenty. Takiego balu jeszcze nie bylo w jego obszarze homomorficznosci. Przyjechal na bal sam ksiaze d'Y..., w samosprzezonej kolasce przybyl graf Sinus ze swoja Sinusoida. Wielowymiarowa muzyka delikatnie unosila sie po salach balowych, przy hiperbolicznych stolikach starsi grali w quasipreferansa, w lozach mlodzi oddawali sie calkowaniu. Strojna w liberie sluzba na kazde skinienie rózniczkowala gosciom jadlo i napitki. Przygaslo nagle swiatlo, po scianach zatanczyly figury Lissajoux, wyploszyli sie goscie. A gdy znów rozblyslo swiatlo, spostrzezono, ze Rezolwenty - krasawicy ani sladu. Metoda sprowadzenia do niedorzecznosci wykazano, ze porwal ja zly czarownik Vandermonde. Dostal on sie na bal naruszajac warunki homomorficznosci Cauchy-Riemann'a i dokonujac zrecznego podstawienia w szeregach strazy.
Mocno wryla sie braciom w dusze opowiesc Tyldy. I postanowili zmierzyc sie ze strasznym Vandermonde'm i wyzwolic z jego rak nadobna Rezolwente. Przez szereg dni i nocy przygotowywali sie do wyprawy, wreszcie powrózyli sobie z hodografu i ruszyli w droge.
Bajka przedzie sie wartko, ale rzecz wolniej sie toczy.
Nielatwe warunki brzegowe zagradzaly braciom droge do sasiedniego obszaru, najezonego pseudowektorami, w którym panowala klasowa nierównosc Schwarz'a. Ale po obwiedni dostali sie bracia do punktu rozgalezienia, w którym tablica stoi: "Na lewo pójdziesz - wspólrzedne pogubisz, na prawo pójdziesz - nieskonczonosc zobaczysz, prosto pójdziesz - przetransponujesz sie". Zmartwili sie bracia. Co robic nie wiedza. Nagle jak spod ziemi wyrasta przed nimi dobry znajomy Ko-Szi Mak-Loren.
- "Znam, znam wasze zmartwienia, bracia moi. Trudna to rzecz pokonac Vandermonde'a. Jego smierc wyznacza wyznacznik. A wyznacznik ten lezy w dodekaedrze, dwie macierze w bok od cyklu Hamilton'a. A dodekaedr znajduje sie w ikosaedrze. Ikosaedr jest scisle zwiazany z zerami funkcji meromorficznej: pierwszy wezel zwyczajny, drugi - niesciagalny, trzeci - logarytmiczny. A funkcja ta ma osobliwosc w biegunie i dostac sie tam - trudna sprawa. Lezy on za 2+3i górami, 3-2i lasami, w zespolonej przestrzeni zlego chana Banacha. A przy biegunie siedzi stwór-potwór o przestepnej liczbie zebów, wolaja na niego Dekrement. A z drugiej strony siedzi pies Funktor, sobaka zlowroga, siersc na nim jak na jezu z m kolcami, ogon zwija sie jak w lemacie o wezu, funktorów pochodnych nie ma, bo nieaddytywna bestia. Taki to wyznacznik trzeba dostac i przyrównac do zera".
Znów wskazal im Ko-Szi Mak-Loren droge i poszli nia bracia, az doszli do brzegu niepustego obszaru wypelnionego ciecza niescisliwa. Patrza, mysla, co robic nie wiedza. Nagle wychylila pyszczek z cieczy sigma-ryba, ludzkim glosem przemówila: - "Teraz ja sie wam przydam".
Przewiozla ich na drugi brzeg i wskazala dalsza droge. Nie zdazyli bracia przejsc nawet 2 okresów, kiedy zagrodzila im droge nieciaglosc pierwszego rodzaju. Ale któz to przed nimi skacze? Maly parametr!
- Wyscie mi pomogli, a teraz ja wam pomoge - powiada.
Uderzyl o ziemie, rozwinal sie w szereg, zwiekszyl stopnie przy kolejnych wyrazach, potem raz jeszcze i jeszcze raz i przeszli bracia Ck - gladko na druga strone.
- A teraz idzcie po sladach operatorów prosto do bieguna - mówi.
Znalezli w1, w2, i w3 slady - patrza a rozchodza sie one na trzy strony swiata. Poszli bracia kazdy w swoja strone. Szedl w1, szedl, a tu jak spod ziemi wyrosly przed nim nieprzeliczalne hordy chana Banacha, wszyscy (poza byc moze skonczona iloscia) w formie jordanowskiej, ostrzyzeni równo niczym pod nawias Poisson'a. - Ech! Nie ujrze ja juz swoich braci - wektorów - pomyslal w1 i rzucil sie na wrogów. Ale oto juz bracia nadbiegli. Pokonali zlego czarnoksieznika. Psu Funktorowi rzucili padline. Polknal Funktor jeden kes, drugiego nie moze, bo nieaddytywny. Udlawila sie bestia i zdechla. A tu zatrzesla sie ziemia, wpadla w rezonans i rozpekla sie góra. Wylazi ohydny stwór-potwór Dekrement. Nie stracili bracia glowy. Ze sznurków i lin skonstruowali za pomoca cyrkla i linijki 17-kat foremny. Narzucili bestii na leb, zaciagneli. Zaplatal sie potwór, przewrócil sie na bok i wyzional ducha. Znalezli bracia licznik i mianownik funkcji meromorficznej, wyznaczyli pierwiastki, strywializowali wezly, dobrali sie do ikosaedru, wydostali dodekaedr, pobiegli po cyklu Hamilton'a, otrzymali wyznacznik - i przyrównali go do zera.
Tak oto przyszedl koniec na Vandermonde'a. A przed bracmi pojawila sie Rezolwenta, cala i zdrowa,
co bylo do okazania.

UWAGA 1.
Bajka napisana jest dla przypadku n0=3. Poslugujac sie metoda indukcji zupelnej Czytelnik bez trudu uogólni ja na przypadek dowolnego n>3.

UWAGA 2.
W ogólnym przypadku w druga strone bajka nie pójdzie.



Bajka o wszetecznych macierzach i Wielkim Algebryku, co je na drogę cnoty przywrócił Za siedmioma residuami, za siedmioma biegunami, hen, daleko była sobie przestrzeń, całkiem ładna -- metryczna, trochę zwarta i prawie zupełna. Aż po horyzont rozciągały się w niej pola skalarne i wektorowe gładkie, z rzadka jeno poprzecinane uskokami nieciągłości, wiązki włókniste o łanach dorodnych, co słały się kowariantnie, w gęstych i nieprzebytych zbiorach aż roiło się od żywotnych różniczek, figlarnych kwantyli i kwartyli, powolnych tensorów, zwiewnych diad i zagadkowych wielomianów, groźnie wyglądające operatory były całkiem afiniczne, funkcje rozwijały się grzecznie w szeregi, a w całej przestrzeni nie znalazłbyś choćby jednej osobliwości.

W tej to spokojnej i dostatniej krainie żyły sobie macierze. Wesoły i barwny był to lud -- spotkać tam mogłeś macierze kwadratowe i prostokątne, ortogonalne i hermitowskie, unitarne i politarne, symetryczne, trójkątne i diagonalne, a ponoć była wśród nich i macierz zerowa. Pędziły one skromny i roztropny żywot pod rządami Algebryka, mędrca o nieposzlakowanej opinii, autorytetu moralnego i duchowego, który zyskał sobie przydomek Wielkiego. Tak się jednak stało, że mędrzec ów w poszukiwaniu tego co nieosiągalne udał się do Osobliwości, co straszliwym wirem czyhała na nieopatrznych podróżnych u brzegu przestrzeni. Algebryk dzięki swej mądrości ominął wszelkie pułapki i śmiało wniknął w samo jądro Osobliwości, po czym ślad wszelki po nim zaginął.

Macierze żyły jeszcze jakiś czas w swej krainie zgodnie z przykazaniami Algebryka, lecz w miarę, jak przedłużała się nieobecność mistrza, duch w narodzie podupadał. Zebrały się razu pewnego wszystkie na wielkim wiecu, a macierze politarne, które cieszyły się dotąd największym zaufaniem Algebryka, zakrzyknęły:

-- Czemuż mamy czcić Nieskończoność, o której mówił nam Algebryk? Udał się on na jej poszukiwanie i zaginął w Osobliwości, nas pozostawiając własnemu losowi. Zostawmy tedy Algebryka i jego Nieskończoność, jako i on nas zdradził, a sami wznieśmy sobie własny biegun, któremu moglibyśmy bić pokłony!

Przeciw temu świętokradztwu gorąco zaprotestowały wierne mistrzowi macierze hermitowskie, lecz politarne zdiagonalizowały je, zredukowały im rząd i wtrąciły do lochu. Po czym jęły tak długo skręcać i rozwijać funkcje analityczne, aż uwiły biegun rzędu siódmego. Padły przed nim na twarz, a gdy wstały, dały znak do rozpoczęcia bachanalii. Tańcom i szaleństwom nie było końca. Macierze odwracały się tam i nazad, sprzęgały się zespolenie i po hermitowsku, co zapalczywsze zaczęły zmieniać wartości własne, aż się zupełnie zdegenerowały, inne sprowadziły się do postaci trójkątnej, albo -- przez nieostrożność -- nawet do diagonalnej. W nocy zaś poczęły się mnożyć bezecnie jak popadnie: wiersze przez wiersze, kolumny przez kolumny, od przodu i od tyłu a nawet na ukos, aż rozpadły się grupy i pierścienie, które dotąd tworzyły i chaos wielki powstał. Macierze stawały się coraz bardziej osobliwe i zdegenerowane. Dalej nastąpiły takie wszeteczeństwa, że z uwagi na młodego czytelnika pominiemy je milczeniem.

Nagle u brzegu przestrzeni pojawił się Algebryk, który opuścił był właśnie Osobliwość. Spojrzał na to straszne rozpasanie i zakrzyknął wielkim głosem:

-- Ludu mój, cóżeś ty uczynił!

Lecz nikt go w zgiełku ogromnym nie usłyszał. Wtenczas to Algebryk począł czynić wśród macierzy sąd straszliwy. Spuścił na nie grom operatorów redukujących, rozpętał wiry przestrzeni, które po siedmiokroć zmiotły biegun i wszystkie ślady po nim wygładziły. Puściły diagonale, trzasnęły wyznaczniki, posypały się minory. Wrzasnęły i jęknęły przerażone macierze czując karzącą rękę Pana i o litość błagać zaczęły, lecz Algebryk pozostał niewzruszony, wyrok swój wymierzając do końca. Macierze politarne, co największą winę ponosiły, wygubił do nogi. Inne zdiagonalizował lub znormalizował. Trzy dni i trzy noce rozliczał grzechy lekkie i ciężkie. A gdy dokończył okrutnego, lecz sprawiedliwego dzieła, usiadł i odpoczął.

Na dany znak macierze pokornie zebrały się przed nim w ordynku, a Algebryk odczytał im kodeks, do którego miały się stosować po wsze czasy. A stały tam przykazania dotyczące Osobliwości, mnożenia, dodawania i odwracania, łączności i rozdzielności. Aby zacnie i uczciwie żyły macierze, połączył je Algebryk w grupy i pierścienie. Wierne mu macierze hermitowskie z lochu uwolnił i przywrócił dawnym rangom. Stopniowo, dzięki ciężkiej pracy i pokucie za grzechy, społeczność cała wróciła na drogę cnoty, zaś dzieje upadku w otchłanie rozpusty i straszliwej kary spisano w księgach, aby przyszłym pokoleniom służyły za przestrogę. I zapamiętały sobie macierze tę nauczkę na wiele pokoleń, a z owych pradawnych czasów do dziś nam zostało, że macierze mnożą się jak przystoi -- wiersze przez kolumny. No i nie ma już macierzy politarnych, wcale a wcale.

25.10.2003

21:04

[2]

GROM Giwera [ Sołdat ]

powiem jedno:-> niechce mi sie tego czytac :p ale zapewne jest fajne