Pytanie za matematyki (ciągi)

Verminus [ Prefekt ]

hmmm to by sie zgadzalo, ale czy tem wzor ktory podales nie tyczy sie szeregu geometrycznego? Zawsze myli mi sie sereg z ciagiem

maniek_ [ O_o ]

szereg geometryczny jest to ciąg któergo |q| < 1

a)

(4x) / (8) = x / (2)

(2x^2) / (4x) = x / (2)

q = x/2

‹ x/2 < 1
‹ x/2 > -1
rozwiąż powyższa nierównośc, wtedy istniej suma

b)

4x / 8x = 1/2

2x / 4x = 1/2

1/2 < 1

Zawsze istniej suma

Fantazyoosh [ sałatka z pora ]

nieskończony ciąg geometryczny to właśnie szereg geometryczny... jesli dobrze pamietam;)

a) x c (-2,2)

b) jest ok dla x c R

maniek_ [ O_o ]

Fantazyoosh --->

ciąg geometrczny jest ciągiem <=> wartość bezwzględza z ilorazu ciagu jest mniejsza od jeden.

29.03.2003

00:09

[7]

maniek_ [ O_o ]

DOKŁADNIE:

Ciąg geometrczny nieskończony (an) o wyrazach

S1 = a1
S2 = a1 + a1q
S3 = a1 + a1q + a1q^2
Sn = a1 + a1q + ... + a1q^n-1

nazywamy ciagiem sum częściowych lub szeregiem

Nie rozumiem za bardzo tego :/

Quetzalcoatl [ Konsul ]

|q|<1 to warunek istnienia granicy ciagu geometrycznego i nijak ma sie do istnienia sumy szeregu .
Co do samego szeregu najłatwiej posłuzyć się szplajsikiem nazywanym "Kryterium Weierstrassa", brzmiącym w skrocie:

Suma szeregu na pewno istnieje [=>szereg jest zbiezny], jezeli poczawszy od pewnego miejsca KAZDY NASTEPNY wyraz szeregu jest mniejszy od odpowiadajacego mu wyrazu jakiegoś szeregu zbieznego (nie funkcyjnego, tylko liczby).

Dowcip polega na tym, ze tak na prawde jesli masz określić kiedy SUMA wyrazów ciagu jest skończona, ktory ma w sobie 'x'-y, to tak na prawde masz określić tzw. obszar zbieznosci szeregu funkcyjnego (aah te nazwy :P)
Wykorzystujac powyzsze kryterium ODPOWIEDNIO jest to zwykle banalne :)

INFO: przykladowy zapis E[n=1...100](ax+n) oznacza:

100
E(ax+n)
n=1

gdzie 'E' to duza sigma;
INFO:inf=nieskonczonosc
INFO:^ nie oznacza spojnika logicznego 'i' ['and'] a potege. 2^5 == "dwa do piątej"
INFO:szereg typu E[1...inf]( 1/(n^a) ) jest ROZBIEZNY dla a<=1 i zbiezny dla a>1


P1)
8x, 4x, 2x... -> szereg E[1...inf]( 8/(2^(n-1)) * x )

E[1...inf]( 8/(2^(n-1)) * x ) = 8E[1...inf]( 1/(2^(n-1)) * x )= 8 x * E[1...inf]( 1/(2^(n-1)) )=16x*E[1...inf]( 1/(2^n))

(zzapisujac inaczej: 8x+4x+2x.... = 8x*(1+1/2+1/4+1/8+...)
rozpatrzmy samo E[1...inf]( 1/(2^n) ) (bez 8x na poczatku)
wyrazy 1/(2^n) maleją o wiele szybciej niz wyrazy 1/(n^2) => masz 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 oraz 1,1/2,1/4, 1/9, 1/16
a dalej: 1/32 1/64 1/128 oraz 1/25 1/36 1/49...
tak wiec szereg E[1...inf]( 1/(2^n) ) jest NA PEWNO zbiezny -> poczawszy od 1/16 (n=5) wszystkie wyrazy ma mniejsze od odpowiadajacych wyrazow szeregu E[1...inf]( 1/(n^2) ) tzn 1/32 < 1/25 ; 1/64<1/36 itd.

teraz wracajac do glownego szeregu: 8x*E[1...inf]( 1/(2^n) ). Skoro E[]() jest zbiezne, czyli ma skonczona wartosc, no to 8E[]() tez musi miec. lepiej: 8xE[]() rowniez, gdyz dowolny x jaki mozesz wybrac ma skonczona wartosc i otrzymujesz 8*skonczona*skonczona=..skonczona.

Tak wiec 8x,4x,2x,1x,1/2x.... zawsze MA skonczona sume wyrazow.

P2)
8, 4x, 2x^2, 1x^3, 1/2x^4...
szereg: E[1...inf]( 8/(2^(n-1)) * x^(n-1) ) = 8* E[1...inf](1/(2^(n-1)) * x^(n-1) )

ten szereg jest poza tym ze funkcyjny, to do tego jeszcze potęgowy -> ma postać E[]( (an) x^n )
[ (an) to jakis tam ciąg liczbowy ]
jesli chodzi o szeregi potegowe, to sposob okreslania zbieznosci tez nie jest trudny:
trzeba znalezc Q=GRANICA (a(n+1))/(an) w inf, albo tez Q=GRANICA [pierwiastek n-stopnia](an):

tutaj: Q=lim[n->inf]( 1/(2^n) / 1/(2^(n-1) ) = lim[n->inf]( 2^-n / 2^(-n+1) )= lim[n->inf]( 2^(-n+n-1) )
Q=1/2

kolejny krok: posluguja sie prostym wzorem R=1/Q znajdujemy tzw. PROMIEN ZBIEZNOSCI szeregu potegowego:
R=2

po co to R? otoz:
szereg potegowy JEST ZBIEZNY DLA KAZDEGO X z zakresu (-R , R)
szereg potegowy JEST ROZBIEZNY DLA KAZDEGO X< -R oraz dla X> R
natomiast dla X=R lub X=-R to, jak to sie zwykle mowi, "cholera wie" i trzeba sprawdzic zbieznosc inaczej.

a wiec tutaj: R=2 => szereg zbiezny dla Xe(-2,2) ORAZ MOZE byc w X=-2 i X=2.
no to sprawdzamy:
dla x=-2 szereg 8* E[1...inf](1/(2^(n-1)) * x^(n-1) ) przyjmuje postac:
8* E[1...inf](1/(2^(n-1)) * (-2)^(n-1) )=
=8* E[1...inf]( 2^(-n+1) * (2)^(n-1) * (-1)^(n-1) )=
=8* E[1...inf]( 2^(-n+1+n-1) * (-1)^(n-1) )=
=8* E[1...inf]( 2^0 * (-1)^(n-1) )=
=8* E[1...inf]( (-1)^(n-1) )
no i zonk. szereg ma postac: 1, (-1) ,1,(-1),1,(-1),1,(-1)... i badz madry: czy suma inf wyrazow jest a)=0 b)=1 ?
niestety dla szeregow postaci E[] ( (-1)^n ) suma NIEISTNIEJE - poprostu ie mozna jej okreslic.

[ACHTUNG! - postac szeregu E[] ( (-1)^n * (an) ) gdzie (an) to jakis koniecznie *MALEJACY* ciąg liczbowy; MA sumę skończoną! =>patrz kryterium Leibnitza, bez skojarzeń z ciasteczkami :) ]

no to w x=-2 szereg rozbiezny. a x=2? :
dla x=2 szereg 8* E[1...inf](1/(2^(n-1)) * x^(n-1) ) przyjmuje postac:
8* E[1...inf]( 1/(2^(n-1)) * 2^(n-1) )=
=8* E[1...inf]( 2^(-n+1+n-1) )=
=8* E[1...inf]( 2^0 )=
=8* E[1...inf]( 1 )
zonk. postac szeregu: 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1... zagadka: ile wynosi suma inf jedynek? [podpowiem: inf :P]
suma jest nieskonczona => szereg rozbiezny.

suma-sumarum:
szereg zbiezny dla Xe(-2,2) [przedzial otwarty, oczywoscie :) ]
szereg rozbiezny dla X<-2 oraz dla X>2
szereg rozbiezny dla X=-2 i dla X=2

preOdp. Szereg E[1...inf]( 8/(2^(n-1)) * x^(n-1) ) jest zbiezny tylko dla Xe(-2,2).
ODP: ciag geometryczny 8,4x,2x^2,x^3,1/2x^4.... am skonczona sume wtedy i tylko wtedy gdy Xe(-2,2)

#eof

29.03.2003

00:51

[9]

K@mil [ Wirnik ]

Quetzalcoatl ====> Nagroda za chęć pomocy i że chciało Ci się tyle pisać :-)

Quetzalcoatl [ Konsul ]

*****************
O rany. PIERWSZEJ LINIJKI TAM NIE MIALO BYC!!! zapomnialem tej bzdury skasowac ;P
Jak juz to powinno byc:
"|q|<1 to warunek istnienia skończonej sumy ciagu geometrycznego. "Ładniej" jedna to się robi z istnienia sumy szeregu."

nie wiem jak moglem takie cus napisac jak napisalem :(
*****************

oczywiscie zewsze mozesz tez skorzystac z podstawowkowego wzrou na sume CIAGU geometrycznego
a0 (1 - q^n)
--------------
(1 - q)

ktorego zalozenie mowi wprost: |Q|<1 => suma istnieje :P
zreszta jak zauwazyles moj wydumany wywod, jezeli w ogole przez niego sie przekopales, dal DOKLADNIE te same wyniki co spoiler mańka.

PS>
Verminus,Fantazyoosh: szereg geomtryczny~=ciag geometryczny.
obliczenia/rozwiazywanie zadan idzie prawie tak samo, jednak definicje sa inne.
CIAG LICZBOWY: przyporzadkowanie N->R; czyli przypisanie kolejnym liczbom naturalnym [pozycjom] jakich wartosci rzeczywistych
SZEREG LICZBOWY: jest to para (ciąg liczbowy, ciag sum czesciowych ciagu liczbowego), gdzie to drugie ma odpowiedno wartosci:
ciag:______A0____A1________A2____
ciag sum:__A0__A0+A1___A0+A1+A2_
czyli n-ty wyraz ciagu sum czesciowych =sumie wyrazow ciagu geometrycznego od poczatku az do n łącznie.

Widzisz te droba roznice w pojeciach? :P
I teraz, mowiac o SUMIE ciagu o nieskonczonej ilosci elementow, tak na prawde mysli sie o GRANICY CIAGU SUM CZESCIOWYCH SZEREGU, BEDACEGO PARĄ (<ów ciąg>, <ciąg jego sum częsciowych>).


BLEEEEEEE JAK JA NIE LUBIE matemat-teorii.....

PS2> za ewentualne wtopy, tak jak ta z pierwsza linijka posta wyzej serdecznie przepraszam..

Quetzalcoatl [ Konsul ]

Kamil: THQ:) widze ze trafile akurat w moje międzypoście :))

PS3> jezeli jestescie w pdst/gimn/lic/tech =>polecam jednak metodę przez |q|. Studentow niestety obowiazuje chyba ta z szeregami, chociaz jesli wykladowca nie jest KolejnymZakutymŁbem na uczelni, to pozwoli studentowi zauwazyc ze 8,4x,2x^2... jest ciagiem geom. i na biedaku nie wymusi "szeregowej" metody :P

powodzeńka ;)

29.03.2003

08:22

[12]

Verminus [ Prefekt ]

Dzieki wszystkim! To jest to...