Paradoks Monty Hall - i inne

alpha_omega [ Legend ]

Pierwsza połowa:

Gracz A: 3/4 (75%)
Gracz B: 10/20 (50%)

Druga połowa:

Gracz A: 10/40 (25%)
Gracz B: 1/5 (20%)

Cały mecz:

Gracz A: 13/44 (ok. 30%, trochę poniżej)
Gracz B: 11/25 (44%)

________________________________________

Chodzi po prostu o to, że daną skuteczność uzyskuje przy danej ilość oddanych strzałów. Jest to analogiczne do zadania w którym mamy obliczyć średnią prędkość, mając dwie różne prędkości, ale przyporządkowane odcinkom o różnej długości (różnym ułamkom całej drogi). Nie będzie to zwykła średnia z dwóch prędkości.

Weźmy np. jednego gracza i mecz koszykówki (cztery kwarty).

10/20 (50%), 10/20 (50%), 5/20 (25%), 5/20(25%). W tym wypadku średnia z całego meczu to będzie zwykła średnia arytmetyczna z 50% i 25% (do tego nam się to skróci), a więc 37,5% (30/80). Liczymy to bowiem tak: (2*50 + 2*25)/4 a to skraca nam się do (50 + 25)/2

Jednak w przypadku gdyby było:

10/20 (50%), 10/20 (50%), 10/20 (50%), 5/20(25%) musielibyśmy średnią z całego meczu z tych procentów przeliczać tak:

(3*50 + 25)/4 = 43,75 % = 35/80

Zauważmy przede wszystkim, że w przypadku tego meczu piłkarskiego skuteczność gracza B w pierwszej połowie jest jednak większa, niż skuteczność gracza A w drugiej. Zestawmy te skuteczności inaczej niż wcześniej:

Gracza A: 75%; Gracz B: 20%
Gracz A: 25%; Gracz B: 50%

Skuteczność z całego meczu zawsze będzie dla danego zawodnika leżała w przedziale wyznaczanym jego skutecznościami częściowymi i - w zależności od tego o ile więcej strzałów oddał on przy danej skuteczności, niż przy innej, będzie się do tej wartości zbliżać. Gracz B mógłby więc mieć skuteczność zbliżoną do 50%, a gracz A do 25%.

Arxel [ Kostka Rubika ]

Simpsona.. Literówka ;)



W sumie to jestem zaskoczony.. W przeciwieństwie do pierwszego paradoksu, który wydaje się być bardziej logiczny.. :)

Jack's Addiction [ Chor��y ]

Odnośnie Paradoksu Monty Hall - skojarzyło mi się to z "Idź na całość" :) Tyle że tam zwykle zmieniali bramkę na jakąś inną bramkę albo coś innego i trafiali na Zonka :P

Co do drugiego paradoksu - na 1. rzut oka - upraszczając: "jak mogę mieć na koniec mniej, skoro cały czas miałem więcej" :) Ale gdy pomyślimy, że po prostu liczby mogą być inne, nimb tajemnicy znika :)

Ale fakt faktem, może to mieć zastosowanie przy manipulacji różnymi danymi. Ciekawe czy komuszki i różne takie frakcje wykorzystały ten paradoks w jakichś ankietach, bo mogłoby wyjść, że w poszczególnych dekadach życie w państwie socjalistycznym było złe, ale w przekroju całościowym to jedyny słuszny ustrój :)

Didier z Rivii [ life 4 sound ]

imho ciekawym matematycznym paradoksem jest to, że liczba 0,99999... nie jest prawie jedynką ale jest równa dokładnie 1.

Najprostszy dowód to to, że ułamek 1/9 w zapisie dziesiętnym okresowym równa się dokładnie 0,(1)

1/9 = 0,(1) teraz mnożąc obustronnie przez 9:
1 = 0,(9) cnd.

alpha_omega [ Legend ]

Arxel --

W przeciwieństwie do pierwszego paradoksu, który wydaje się być bardziej logiczny.. :)

A ponoć w rozwiązanie tego paradoksu niektórzy nie są w stanie do końca uwierzyć, nawet widząc dowody; swego czasu w związku z tym paradoksem w USA wybuchła swego rodzaju medialna burza, ludzie z doktoratami nie przyjmowali tego rozumowania do wiadomości.

Jack's Addiction --

Co do drugiego paradoksu - na 1. rzut oka - upraszczając: "jak mogę mieć na koniec mniej, skoro cały czas miałem więcej" :) Ale gdy pomyślimy, że po prostu liczby mogą być inne, nimb tajemnicy znika :)

No nie tak do końca znika. Gdybyś miał w odpowiadających sobie kieszeniach więcej fałszywych monet, niż ja, ale też procent fałszywych monet w którejkolwiek z Twoich kieszeni byłby większy, niż procent z dowolnej mojej, to miałbyś z konieczności większy procent fałszywych monet. Chociażby liczby były inne. Samo więc powiedzenie, że liczby mogą być inne, nie wyjaśnia za bardzo sprawy.

alpha_omega [ Legend ]

Didier z Rivii --

Tylko najpierw musisz wytłumaczyć, dlaczego 1/9 wynosi 0,(1), a więc - właściwie - logicznie wracasz do punktu wyjścia.

1/9=1/9*1. Jedność, to jest 10/10. 1/9 z dziesięciu części, to jest 1/9 z 9 części (a więc jedna część) plus 1/9 z jednej. A więc odznaczasz 1 w częściach dziesiętnych i musisz wziąć jeszcze 1/9 z 1/10. Ale 1/10, to 10/100, a 1/9 z dziesięciu części, to jest 1/9 z 9 części (a więc jedna część) plus 1/9 z jednej. A więc odznaczasz 1 w częściach setnych i musisz wziąć jeszcze 1/9 z 1/100. Ale 1/100, to 10/1000... itd. itd. w nieskończoność. Tak więc 1/9 jest równe 0,(1).

W tym paradoksie ulegamy złudzeniu optycznemu :) Wydaje się bowiem, że skoro mamy 0,9999999999 itd. to do 1 brakuje nam 0,1111111111 itd. a przecież tak nie jest, bo np. 0,999999 itd. + 0,1 = 1,099999 itd.

graf_0 [ Nożownik ]

Nie bardzo rozumiem gdzie ten paradoks z liczbą, 0,9999... - to jest właściwie jedynie inny sposób zapisu liczby 1,
Najlepiej jest to widoczne przy dowodzie ułamkowym.
skoro 1/9 zapisujemy dziesiętnie jako 0,111...
to 9/9(czyli 1) możemy zapisać dziesiętnie jako 0,9999.
To jest kwestia zapisu a nie dyskutowania o wartości

alpha_omega [ Legend ]

graf_0 --

Myślę, że w tym co dopisałem do ostatniego posta, w złudzeniu quasi-optycznym.

alpha_omega [ Legend ]

Odnośnie paradoksu Simsona, bo tknęło mnie, że dałem przykład, który niczego nie tłumaczy. Tym razem - z sensem - mamy różne ilości oddanych rzutów w poszczególnych kwartach.

Jeszcze raz - koszykówka, 4 kwarty.

10/20 (50%), 10/40 (25%), 25/100 (25%), 5/10 (50%)

Nie jest tak, że sumujemy te procenty i dzielimy na 4. Ważny jest fakt, na jaką ilość rzutów przypada dana skuteczność. Dlatego też liczymy to w ten sposób. Przyjmujemy tutaj 10 rzutów za wspólny mianownik.

(2*50 + 4*25 + 10*25 +1*50)/17 = ok. 29,411 % = 50/170

Tyle właśnie wynosi średnia z całego meczu.
___________________

Dlaczego jest to ważne? Pokazuje, w jaki sposób ilość rzutów, a nie tylko procent jest ważny dla całkowitej średniej. W końcu skuteczność dotyczy stosunku celnych do oddanych rzutów, a nie do czasu (podziału na kwarty). W gruncie rzeczy gdybyśmy błędnie liczyli to zwykłą średnią, albo gdybyśmy nawet liczyli to poprawnie, lecz każdy częściowy procent dotyczył takiej samej ilości oddanych rzutów (a wtedy rachunek skracałby się do zwykłej średniej), to np. w przypadku omówionego wcześniej meczu piłkarskiego, paradoks Simsona byłby niemożliwy.

Kiedy bowiem A1>B1>A2>B2 jest niemożliwe, ażeby zwykła średnia arytmetyczna z A1 i A2, była mniejsza od średniej z B1 i B2. Gdyby było odwrotnie, to większa ilość trafnych rzutów dzielona na taką samą ilość oddanych mogłaby dawać mniejszą średnią.

Taven [ Generaďż˝ ]

Wydaje mi się, że niezgodność z intuicją pierwszego paradoksu wynika przede wszystkim z abstrakcyjnego jego charakteru i stosunkowo niewielkiej, "praktycznej" różnicy pomiędzy 1/3 i 2/3 (w przeciwieństwie do wersji gdzie jest np. 100 bramek).

Zresztą to jest głębszy problem. Cały czas mówimy w końcu o statystyce, a przecież idealny rozkład prawdopodobieństwa nie występuje w rzeczywistości, w przypadku tak małego pola do wyboru ta dodatkowa informacja z poprzedniej rundy gry jeszcze bardziej traci na znaczeniu. Nic dziwnego więc, że ludzie intuicyjnie twierdzą, że "1/2" jest poprawną odpowiedzią (choć raczej mają na myśli, że "wygrana i tak może być wszędzie"), bo np. mając dziesięć pudełek, a w jednym banknot, to stopniowe odkrywanie ich zawartości "runda po rundzie" wcale nie oznacza, że nie znajdziemy go w ostatnim z nich :)

Statystyka to nie prawo fizyki tylko pewien sposób opisu zdarzeń w kontekście przyjętych wcześniej, abstrakcyjnych założeń o "pedantycznie zrównoważonej" wersji tej samej sytuacji.

Z kolei drugi paradoks na moje oko paradoksem raczej nie jest (chyba, że tu czegoś nie rozumiem), dowodzi tylko wprost abstrakcyjności narzędzi pomiaru statystycznego.

Tak więc "problemy", jakie mamy z tymi paradoksami wynikają raczej z nastawienia psychologicznego i odruchowego rozumowania w ramach praktycyzmu i rzeczywistości, a z tą - materialną, przypadkową i niedoskonałą - statystyka ma mało wspólnego :)

08.04.2010

23:44

[13]

mos_def [ Senator ]

Pierwszy paradoks to w sumie zaden paradoks, wystarczy chwile sie zastanowic i spojrzec na to najprosciej jak sie da, czyli: mamy trzy skrzynie rozdzielone na dwie grupy x1 i x2.
Ktora grupe lepiej wybrac? oczywiscie ta druga bo mamy 2x wiecej "strzałow" ze w srodku bedzie nagroda (to ze na poczatku odtwierana jest jedna pusta nie ma znaczenia)

Drugi to juz faktycznie paradoks, bo intuicja sugeruje najprostsze rozwiazanie: wiecej+wiecej=... wiecej.
Choc mozna troche sie czepiac opisowi ze mało dokładny (wiadomo, specjalnie hehe) i nie mowi czy strzałow obaj zawodnicy oddali tyle samo (bo wtedy intuicja juz by w taka pułapke nie wpadła)


Fajny temat :)

09.04.2010

00:11

[14]

Ogon. [ półtoraken fechten ]

Odkopałem w zeszycie do matmy z tematu szeregów liczbowych pewną ciekawostkę, że dodawanie wcale nie jest przemienne :P

Mam nadzieję, że ktoś zrozumie o co biega...
E=Suma
oo=nieskończoność

E(n=1 do oo) z (-1)^(n+1) * 1/n
czyli po rozpisaniu: 1-1/2+1/3-1/4+... = ln 2 (logarytm naturalny w sensie... tego akurat nie łapię, skąd on się tam wziął)
No ale nieważne... w każdym razie gdy pomieszamy liczby w tym szeregu i powkładamy je do nawiasów, o tak:
A) (1-1/2)+(1/3-1/4)+... = E(od n=1 do oo) z [(1/2n-1) - (1/2n)] = ln2
B) (1-1/2+1/3-1/4)+(1/5-1/6+1/7-1/8)+... = E(od n=1 do oo) z [(1/4n-3) - (1/4n-2) + (1/4n-1) - (1/4n)] = ln2

...mam nadzieję, że nadążacie ;P

i teraz jeśli wersję A) podzielimy na dwa, to otrzymamy: E(od n=1 do oo) z [(1/4n-2) - (1/4n)] = 1/2 ln2
i teraz jak dodamy A) i B) to otrzymamy E(bla bla bla) z [(1/4n-3) + (1/4n-1) - (1/2n)] = 3/2 ln2

i tu następuje kulminacja (której też nie rozumiem skąd się wzięła... ale zakładam, że nasz wykładowca wiedział co pisał ;p)
bo 3/2 ln2 = takiemu szeregowi liczb: (1+1/3-1/2) + (1/5+1/7-1/4) + (1/9+1/11-1/6)+... czyli identycznemu co na początku, tylko że inaczej ma rozłożone liczby :)

alpha_omega [ Legend ]

mos_def --

Choc mozna troche sie czepiac opisowi ze mało dokładny (wiadomo, specjalnie hehe) i nie mowi czy strzałow obaj zawodnicy oddali tyle samo (bo wtedy intuicja juz by w taka pułapke nie wpadła)

To prawda - specjalnie. A jednak sądzę, że intuicja i tak w pułapkę by wpadła. Kto tego paradoksu nie musiał pokonać kiedyś matematycznie, ten ma wielką szansę, że się nabierze. Po prostu: humanista nabierze się szybciej, niż matematyk nie dlatego, że drugi rozumuje lepiej, a dlatego, że drugi z dużym prawdopodobieństwem to w swoim myśleniu już napotkał i się czegoś nauczył. Ja - jako naiwniak - dawno mówiłem, że matematyka po prostu polega na głębokim zrozumieniu ułamków. I to się kolejny raz potwierdza. Rozumienie stosunków, to wszystko co w matematyce potrzebne; tyle, że na wybitnym poziomie.