Zadanie z prawdopodobieństwa dla tęgich umysłów ;)

13.03.2007

22:34

[3]

Michalek3922 [ Kibic Lecha Poznan ]

czemu dałeś na wieczór teraz mi się nie chce myśleć

13.03.2007

22:35

[4]

Dominik1991 [ Bezimienny ]

Jeśli jeden z odcinków będzie miał długość większą niż połowa patyka to nie. A w innych wypadkach tak. Bo by otrzymać trójkąt dwa dowolne odcinki muszą być dłuższe od 3.

Williams [ Konsul ]

Suma jakichkolwiek dwóch boków trójkąta musi być większa od trzeciego boku. W tym przypadku od twoich patyczków. Musisz sobie zobaczyć czy jak złożysz jakie kolwiek dwa patyczki czy będą większe od trzeciego.

Chyba o takie coś ci chodziło ale nie jestem pewien.



EDIT:Spóźniony:)

Azzie [ bonobo ]

Loczek: Warunek jest chyba inny.

Aby ulozyc trojkat, suma dlugosci kazdych dwoch kawalkow musi byc wieksza niz trzeci.

Lilus [ The Feline Gunslinger ]

Ale ja o tym warunku wiem.
Tylko, że mi to nie wystarczy.
I nie jest to 1/3 czy 1/4, pomysły mi się, ogólnie mówiąc, skończyły.

Michalek, zadanie jest na czwartek, więc jeszcze jest doba ;D

Azzie [ bonobo ]

Uwaga zaczynam bredzic...

uznajmy ze mamy patyk od 0 do 10 cm i na nim dwa punkty x i y


0-----x-----y-----10

czyli trzy kawalki
K1 = x
K2 = y-x
K3 = 10-y

No wiec ukladamy trzy rownania:

x+y-x > 10-y
x+10-y > y-x
y-x+10-y > x


Z pierwszego mamy y>5
Z drugiego y-x > 5
Z trzeciego x < 5

Teraz wystarczy narysowac te nierownosci na ukladzie wspolrzednych i obliczyc pole spelniajace te warunki. Jako ze jestesmy ograniczeni maksymalnym x i y = 10, to zakreskowane pole daje nam odpowiedz.

Jest to 1/8

Od razu mowie ze boli mnie glowa i chce mi sie spac. Koniec bredzenia.

Azzie [ bonobo ]

Chociaz w sumie to nie jest 1/8

1/8 bylaby w przypadku jakbysmy mieli te nierownosci nieostre, a sa ostre. Czyli jest to mniej niz 1/8.

Mozna powiedziec ze prawdopodobienstwo dazy 1/8.

Xerces [ A.I. ]

Poprawne rozwiązanie:
Najlepiej wykorzystać prawdopodobieństwo geometryczne. Narysujmy sobie przykładowo kwadrat o boku długości 1, a następnie odcinek długości 1, który reprezentuje nasz kijek. Z tego kijka musimy wybrać punkty x, y i sprowadzić, czy trzy mniejsze odcinki mogą utworzyć trójkąt. Wystarczy zauważyć, że żadna część nie może być dłuższa od 1/2.

Kwadrat, który został narysowany będzie graficzną reprezentacją naszego wyboru co do położenia punktów. Jeżeli przykładowo wybierzemy kolejno punkty x=1/2 y=1/3 ( gdzie te liczby to odległość od lewej strony kijka mającego długość 1) na naszym kijku, to ten wybór oznaczamy w kwadracie jako punkt o współrzędnych (1/2,1/3). Naszym zadaniem będzie zacieniowanie takiego obszaru w tym kwadracie, że jeśli wybierzemy z niego punkt i na odcinku zaznaczymy punkty x,y które odpowiadają kolejnym współrzędnym wziętego punktu, to z tych trzech utworzonych pododcinków, będzie można zbudować trójkąt, i analogicznie: jeżeli z naszego kwadratu weźmiemy jakiś punkt z niezacieniowanego obszaru, a następnie według instrukcji naniesiemy na kijek punkty x i y to wtedy z otrzymanych trzech pododcinków nie można zbudować trójkąta. Jeżeli nam się to uda to policzymy stosunek pola zacieniowanej części kwadratu, do pola całego kwadratu i to będziesz szukane prawdopodobieństwo. Tak jak na rysunku lewy dolny i prawy górny róg będzie całkowicie niezacieniowany ponieważ oznacza to tyle, że obydwa punkty znajdują się albo w lewej końcówce kija (przez co prawa jest dłuższa od sumy dwóch pozostałych znajdujących się po lewej) lub prawej końcówce kija (przez co lewa jest dłuższa, niż suma dwóch pozostałych po prawej stronie) . Jeżeli natomiast punkt x znajduje się w pierwszej połówce to punkt y może leżeć tylko w przedziale (1/2;1/2+x). Tylko wtedy długość, żadnego odcinka nie będzie większa od 1/2. Natomiast jeżeli x leży w prawej połówce kija to wtedy y musi należeć do przedziału (1/2-x,1/2). Ilustruje to rysunek.

Pole zacieniowane stanowi 1/4 pola całego kwadratu i to jest szukane prawdopodobieństwo. Podkreślam - jest równe 1/4, a nie DĄŻY do 1/4


Azzie - Faktycznie, zrobiłeś kilka błędów myślowych

15.03.2007

22:22

[11]

Lilus [ The Feline Gunslinger ]

Dzięki Xeres, przydało się bardzo ^____^ Niech Bog Ci to wynagrodzi, w czymkolwiek chcesz.
A metody geometrycznej w ogóle nawet nie znałam, fajna rzecz.
No i dzięki wszystkim, którzy zaangażowali się w pomoc :)

Katane [ Useful Idiot ]

Jezeli to jest zadanie z jakiegos egzaminu (matura miedzynarodowa?), sugeruje jednak napisac, ze korzystasz z geometrycznego modelu prawdopodobienstwa i napisac rownania doprowadzajace do wyniku:

‹
|x-y| <= 1/2
min(x,y) <=1/2
›

Xerces [ A.I. ]

Jeszcze małe sprostowanie do rozwiązania Azzie

Prawdopodobieństwo geometryczne jest w swoich zamierzeniach bardzo podobne do klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Tam wyznaczaliśmy jakiś zbiór omega, potem zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu A, liczyliśmy moc jednego i drugiego, a następnie dzieliliśmy przez siebie.
Tutaj jest bardzo podobnie tyle, że odpowiednikiem zbioru omega jest jakaś figura, a obszar zacieniowały jest odpowiednikiem zbioru zdarzeń elementarnych, które sprzyjają jakiemuś badanemu zdarzeniu.
Jeżeli, źle wyznaczy się jeden ze zbiorów to wtedy, rzecz jasna dochodzimy do błędnego wyniku.

Ja to rozwiązałem zakładając, że punkt x, może leżeć na prawo od y. Azzie założył, że tak się zdarzyć nie może, do czego ma oczywiste prawo – ale wtedy diametralnie zmienia się przestrzeń omega. To już nie będzie kwadrat tylko trójkąt, który stanowi lewą górną część kwadratu. Ten trójkąt jest wtedy całą przestrzenią omega, oznacza on dokładnie właśnie tyle, że x<y, czyli nie mam możliwości wybrania takiego punktu, aby było x>y – w ogóle ten przypadek nie jest rozpatrywany. Jeżeli założyć taką konwencje to wtedy zacieniowanym obszarem będzie lewy górny trójkącik tak jak na moim rysunku i faktycznie stosunek tego trójkącika do trójkąta reprezentującego całą przestrzeń omega będzie dalej 1/4.