--> Archiwum Forum
Wormsek [ Pretorianin ]
Całka
Witam. Czy ktoś wie jak policzyć całkę z x*arcsinx ? Ostatnio dostałem od znajomej takie zadanie i się zaciąłem po dojściu przez części do całki z x^2/sqrt(1-x^2) i ciągle mi to chodzi po głowie :P
Ellanel [ Astral Traveler ]
Do tej całki, która Ci została po scałkowaniu przez części zrób taki myk :)
1.Za x podstaw sint czyli x=sin(t)
dx=cos(t)dt, podstaw do tej całki i otrzymasz sin^2(t)/(sqrt(1-sin^2(t))*cos(t)(t)dt
2.Mianownik to nic innego jak cos(t) (chyba nie muszę mówić dlaczego :) czyli po skróceniu zostaje Ci całka z (sin^2(t)dt) znajdziesz w każdym dobrym całkowniku itak naprawdę nie trzeba tego rozwiązywać.
całka z sin^2(t)dt=(1/2)t - (1/4)sin2t
Pamiętaj że do niej musisz podstawić za t a t=arcsinx(chyba też nie muszę mówić dlaczego:)
Potem zastosuj wzór na sinus podwójnego kąta no i potem musisz wiedzieć np. z tablic, że
sin(arcsinx)=x
cos(arcsinx)=sqrt(1-x^2)
Podstawiasz i wychodzi wynik (-1/2)x*sqrt(1-x^2)+(1/2)arcsinx+C
Wybacz, że trochę zawile. Może da się prościej ale po cięzkim tygodniu nie potrafię myśleć. Może Xerces odwiedzi forum i Ci to łatwiej roztrzaska :)
A swoją drogą ta całka jest powalona. Jak wiemy pozory mylą. Coś się wydaje łatwe a takie nie jest. Cóż, funkcje cyklometryczne zawsze były do bani :P
Trzeba poprosić Soulcatchera, żeby wprowadził na GOL-a LaTex :)
Wormsek [ Pretorianin ]
Hehe Ellanel dzięki za to podstawienie x=sint :). Całki miałem 4 lata temu (takie jak ta) i wogóle taki sposób mi wyleciał z głowy (albo nie miałem). A dalszą częśc po tym podstawieniu to ja ci mogę prostszą pokazać :). Bierzesz kolejną zmienną pomocniczą sint = z.
I jak miałeś całkę sin^2(t)/(sqrt(1-sin^2(t))*cos(t)dt , czyli całka z sin^2(t)*costdt, to wychodzi ci ładna całka z z^2dz :). A reszta to już z górki :)