Całki podwójne - zamiana na współrzędne biegunowe - pomóżcie

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

^

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

^

xalos [ Centurion ]

hej moim zdaniem za mało danych chodzi o ten obszar, masz dwa okręgi ok ale gdzie zawiera sie ten obszar pomiedzy tymi okręgami czy co, druga sprawa promień to nie wime z kąd masz że niby 1/2, to jest źle

ogólnie to trzeba najpier sobie dobrze rozrysowac na osiach x i y sa to okręgi jak mówiłeś tlyko jakie promienie pierw X i pierw Y wydaje mi sie że bzdura, jak masz narysowane wszystko to na bigunowe juz nie problem zamienić podam przykład

pole okręgu y=>0
x^2+y^2=1

bierzemy tlyko górna cześc koła wiec y= pierw(1-x^2)

calka od -1 do 1 dx całka od 0 do pierw(1-x^2)dy

w bigunowych podstawiasz za x rcos(fi) za y rsin(fi) ale tylko we wzrorze funkcji

w biegunowych rozpatrujesz na osiach najpierw promień całka od 0 do 1 dr, całka od 0 do pi dlatego pi bo połowa koła kąt tylko 180stp i na koniec r zawsze tak jest!, wychodzi z tego że poler przy promieniu 1 wynosi pi/2

nie wiem czy coś z tego zrozumiałeś ogólnie dziwny ten twój przykład, jutro mam egz z tego całek potrójnych i równań nie jest to trudne tylko te cholerne różniczki heh :), pozdro

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

xalos ---> :
x^2 + y^2 =<y
x^2 + y^2 - y =<0 // zwijasz pod kwadrat
x^2 + (y -1/2)^2 -1/4 =<0 // a więc ...
x^2 + (y -1/2)^2 =< (1/2)^2

Kole o środku (0;1/2) i promieniu = 1/2 :)

Wszystko elegancko, ale wiesz czego zrozumieć nie umiem (chwycić tego czegoś) ? Tego:
w biegunowych rozpatrujesz na osiach najpierw promień całka od 0 do 1 dr, całka od 0 do pi dlatego pi bo połowa koła kąt tylko 180stp i na koniec r zawsze tak jest!

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

^

Xerces [ A.I. ]

Rozumiem wiec ze problem jest z granicami calkowania? Do wspolrzednych biegunowych przechodzi sie wtedy, kiedy policzenie calki w tradycyjny sposob na plaszczyznie kartezjanskiej jest bardzo trudne. We wspolrzednych biegunowych wspolrzedne punktu sa okreslone przez dwie wartosci i to zupelnie inne niz w tradycyjnym ukl. wspolrzednych.

x = r*cos L
y = r*sin L

Z gory mowie ze nie wiem jaką konwencje zakladasz (a to ma znaczenie bo bedzie rozny jakobian, ale wylumacze ci na tej ktorą ja stosuje).
Masz wartosc r - czyli odleglosc puktu od srodka ukladu, i wartosc L - czyli kat jaki tworzy polprosta przechodząca przez ten punkt z osią OX. W ten sposob wyznaczysz polozenie kazdego punktu. No i teraz jak w tradycyjnych wspolrzednych calkowales cos po obszarze tak samo tutaj, tyle ze zakres zmiennych bedie zupelnie inny. Przykladowo jakbys mial okrag o srodku 0, 0 i promieniu 1 to granicami calkowania we wsp. kart byloby [-1,1] po dx [-sqrt(1-x^2), sqrt(1-x^2)] po dy. Natomiast we wspolrzednych biegunowych, promien zmienia sie zawsze od 0 do 1 po dr i od -pi do pi (czyli caly obrot) po dL.

Natomiast jak masz np. okrag o srodku (1/2,0) i r=1/2 to kat L bedzie sie zmienial od -pi/2 do pi/2 po dL, natomiast zeby wyznaczyc granice calkowania po dr to juz musisz zwiazac te zmienna r z tym katem L. Najlepiej to zrobić podstawiając do wzoru we wspolrzednych kartezjanskich

(x-1/2)^2 + y^2 = 1/4
(r*cos L-1/2)^2 + r*sin L^2 = 1/4
rcosL^2 - r*cosL + 1/4 + rsinL^2 = 1/4
r^2 - r*cosL = 0
r - cosL = 0
r = cos L


czyli calkujesz od 0 do cosL po dr i potem od -pi/2 do pi/2 po dL
Ale w Twoim wypadku masz jeszcze inaczej. Masz dwa nachodzące na siebie okregi wiec dzielisz je prostą y=x i calkujesz po sume tych obszarow. W powyzszym okregu nic sie nie zmieni poza tym ze calkując pod dl bierzesz kat od -pi/2 do pi/4.

Nastepnie calkując po drugim okregu wezmiesz kat od pi/4 do pi, a przebieg zmiennosci r w zaleznosci od L bedziesz musial wyznaczyc tak jak powyzej.

r wrzucasz zawsze do calki bo to jest jakobian. Nie chce mi sie tlumaczyc czym on jest i nie ma to sensu z praktycznego punktu widzenia, a chyba tylko on cie obchodzi. W skrocie powiem tylko ze jak licząc calki pojedyncze we wspolrzednych kart, stosowales jakies podstawienie to wtedy rozniczkowales te podstawienie stronami zeby zobaczyc na co przejdzie rozniczka dx. Wiec jakobian jest jakby uogolnieniem tego w analizie wielowymiarowej, bo wlasciwie przejscie do wspolrzednych biegunowych to nic tylko podstawienie.

03.07.2006

09:39

[9]

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

Xerces ---> a to żeś mnie zaskoczył :) Naprawdę już dużo lepiej ze mną, niemniej jednak, jeśli masz jakieś pozycje (oprócz sławnego Krysickiego) do nauki właśnie całek i współrzędnych biegunowych to proszę podaj tytuły itp, itd :) Chciałbym coś poćwiczyć, więcej przykładów przeanalizować, bo bez tego to też ani rusz ... Tak czy siak dziękuję bardzo bardzo bardzo :)

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

^

Xerces [ A.I. ]

Grzesiek -> Niestety w swojej kolekcji nie mam nic co moglbym polecic z analizy, ale czasami jak sie przechadzam do ksiegarni uniwersyteckiej to widze tam grube trzytomowe dzielo. Tytul "Rachunek rozniczkowy i calkowy", autora nie pamietam, ale biorac pod uwage ze po Krysickim jest to jedna z czestszych pozycji, to chyba nie powinines miec problemu ze znalezieniem - poza tym na pewno rozpoznasz po cenie, ktora robi wrazenie - calosc kosztuje ok 220zl a kazdy tom ok 70-80zl. co jest sporą boloczką dla mnie bo sam nie moge tego nabyc, a jest wiele ciekawych rzeczy z punktu widzenia teoretycznego. Ech ktos powie ze wiedza w tym kraju jest darmowa...

Voutrin [ Snop dywizora ]

Ja moge polecic zbior zadan Stankiewicza, jest tam dosc duzo fajnych przykladow i zadan ( calki podwojne itp. sa w I tomie). Cos wiecej, to moze Fichtenholz "Rachunek rozniczkowy i calkowy" ? Ksiazka bardzo fajna, chociaz dosc opasla :P

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

Dobra, męczę się z tymi obszarami całkowania przy zmianie na współrzędne biegunowe i wogóle. Obadajcie to proszę:

Za pomocą współ. bieg mam obliczyć całkę podwójną:
(x^2+4y+9)dxdy
gdzie obszar całkowania to:
x^2+y^2 =< 4
czyli koło o środku 0;0 i promieniu 2.
x=rcosL
y=rsinL
r^2 =< 4
czyli wychodzi mi, że r jest większe od -2, mniejsze od 2 - dobrze ?

Idąc dalej wstawiam zmienne i mam:
(r^2 cos^2 L + 4rsinL + 9)rdrdL
Obszar całkowania będzie
-2=<r=<2
0=<L=<2pi dobrze mówię ?

Teraz najłatwiej jest całkować pierw względem r, prawda ?
Lecąc dalej mam więc:
(r^3 cos^2 L + 4r^2sinL + 9r)drdL
całka z tego będzie pod dr będzie:
0.25 r^4 cos^2 L + 4/3 r^3 sinL + 18 - granice mamy -2 i 2, więc wynik końcowy będzie:

32/3 sin L

Wogóle licząc dalej to bzdury wychodzą, więc gdzie popełniam błąd ? Czy coś z obszarami całkowania nie tak, czy jednak dotąd mam OK, tylko gdzieś się kopnąć musiałem ?

blazerx [ lateral thinking ]

jak was tak slucham to nie wiem czy ja z tego samej planety pochodze:)

matematyka- krolowa nauk(podobno)nigdy nie przepadalem(ale zawsze mialem 4, nawet w liceum)

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

^

Xerces [ A.I. ]

całka z tego będzie pod dr będzie:
0.25 r^4 cos^2 L + 4/3 r^3 sinL + 18

chyba 9/2 r^2?

poza tym r zmienia sie od 0 do 2

W kazdym zakladając ze te 32/3 sin L byloby wynikiem to calkujesz to teraz po dl z czym nie ma juz chyba problemu i bierzesz przyrost od 2pi do 0, wiec o co chodzi?
Wynikami sie nie przejmuj. Bardzo czesto wychodzą dziwne.

Voutrin [ Snop dywizora ]

Na rysunku obok masz wynik i czesciowe rozwiazanie( bez zalozenie itp. )

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

Voutrin ---> wynik mi później wyszedł taki sam, a to obszaru r (od 0 do 2) też doszedłem sam :) Dzięki za pomoc, chyba to rozumiem :) Ale, że w książce się nie zgadza (drugi wynik z rzędu ...) dziwne ...

Voutrin [ Snop dywizora ]

A jaka ksiazka? I jaki tam podaja wynik ? :-) Niestety, ale czasami sa takie kwaitki w zbiorach...

Edit: acha juz widze, ze to Krysicki :-)

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

"Zarys matematyki wyższej cz. II" - Leitner, Matuszewski, Rojek, wyd. WNT

Teraz mam jeden problem. Jakbyś mógł pomóc to będę wdzięczny :)

Znaleźć objętość bryły ograniczonej płaszczyzną Oxy oraz powierzchniami x^2 + y^2 - 4z^2 = 0 oraz x^2 + y^2 - 8x = 0

Wg mojego rozumowania to jest tak:
Całkujemy funkcję x^2+y^2 -4z^2 = 0, więc mamy z = 1/2(sqrt(x^2+y^2))
Jak jest w takim wypadku z obszarem całkowania. Po fi będzie od 0 do 2pi albo od 0 do pi/2 (jeśli bierzemy 1/4 objętości).
r zmienia się od 0 do 4 :
(x-4)^2 + u^2 = 4^2

Jednak niestety coś robię źle, bo wynik jest inny (podręcznik Krysickiego - a tam wątpię, żeby kwiatki były).

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

Dobra, mam to :)
r zmienia się od 0 do 8cosL (licząc z x^2 + y^2 - 8x = 0, po podstawieniu biegunowych).
Teraz wszystko śmiga :) Jednak brak mi pewnego zrozumienia, robię to na wyczucie wszystko ... może się uda :)

Voutrin [ Snop dywizora ]

fi nie bedzie sie zmieniac od 0 do 2pi, bo tutaj okrag w oxy jest przesuniety o 4 na osi x( narysuj to sobie to zobaczysz o co chodzi), tak samo r.

Voutrin [ Snop dywizora ]

Sorry za drugi post z rzedu :-)

Oczywiscie w poprzednim poscie zrobilem pomylke, bo spokojnie mozna przyjac fi od 0 do 2pi, a co do r, to tak jak podales r=8*cos(fi), bo dla fi=0 => r=8, co zgadza sie z rysunkiem :-]
( mozna tez latwo sprawdzic np. dla 45 stopni itp. )

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

Voutrin --> męczę się z tymi zadaniami, ale jest już lepiej niż było :)

Voutrin [ Snop dywizora ]

Trening czyni mistrza, jak to mowia :-]

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

Teraz to mam zagadkę:

Mam obliczyć całkę z funkcji sqrt(x^2 + y^2), gdzie obszarem całkowania jest okrąg w punkcie (0;1) i promieniu 1, czyli x^2 + (y-1)^2 =< 1

x^2 + (y-1)^2 =<1
x^2 + y^2 - 2y =< 0 // przechodząc na biegunowe:
r^2 cos^2 L + r^2 sin^2 L - 2rsinL =< 0 //mamy
r^2 =< 2rsinL // czyli
r =< 2sinL // a więc

0 =< r =< 2sinL
Kąt fi będzie się zmieniał od 0 do pi.
Więc całką będzie tak:
|| <- symbol całki

||(sqrt(r^2)) r dr dL
|| r^2 dr dL

Całkując po dr mam (1/3)r^3 i licząc w granicach od 0 do 2sinL:
(8/3)sin^3L
Z tego liczę całkę, a całka z sin^3 x dx wynosi:
(1/3)cos^3x - cosx
I idąc dalej wychodzi mi wynik zero - dobrze? Bo na razie to prawie żadna odpowiedź mi się nie zgadza z tym Zarysem mat wyższej ...

Grzesiek [ - ! F a f i k ! - ]

Dobra :) zapomniałem o tej 1/3 dlatego wynik mi się zerował :) Wszystko gites jest :) hie hie