--> Archiwum Forum
(:AllegromańkA:) [ Let's rock! ]
Znów problem z matmą:(
Muszę zbadać zbieżność szeregów o wyrazach ogólnych:
1) an = 2^n - 1 / 3^n + 1
2) an = n! / (3n)!
3) an = (3n + 1 / 5n + 1)^n
Jakiego kryterium badawczego mam użyć w poszczególnych przypadkach???
Bardzo proszę o szybką pomoc!
(:AllegromańkA:) [ Let's rock! ]
Trochę jaśniej:
1) an = (2^n - 1)/(3^n + 1)
2) an = n!/(3n)!
3) an = [(3n + 1)/(5n + 1)]^n
(:AllegromańkA:) [ Let's rock! ]
Nikt nie wie???
Czamber [ Czamberka ]
ja bym pierwsze dwa robila z kryterium d'Alemberta zas ostatni od razu widac [przynajmniej tak mi sie wydaje ] ze trzeba robic z kryterium Cauchego [ i tam widac, ze granica przy na do nieskonczonosci z pierwiastka n-tego stopnia z an bedzie =3/5 a wiec mniejsza od jedynki, co oznacza, ze szereg jest zbiezny.. ]
...ale to tak dawno bylo...
Pirix [ ! KB ! Góry górą ]
Ja za to jestem świeżo po tym i zgadzam się z Czamber. Dokładnie tak samo bym, zrobił.
Nadbor [ Pretorianin ]
Sama jesteś dalambert.
1. podzielić licznik i mianownik przez 3^n i mamy same granice skończone - 1/3^n - > 0 (2^n/3^n = (2/3)^n -> 0 itp.)
2. (3n)! = n! *(n+1)(n+2)(n+3)...(3n) zatem n!/(3n)! = 1/(n+1)(n+2)(n+3)...(3n) -> 0 bo to jest mniejsze niż np. 1/3n -> 0
3. wnętrze nawiasu [...] -> 3/5 (podziel przez 5n i dalej tak jak w 1. wykładnik potęgi n-> oo granica postaci a^oo = 0 dla a przedziału (-1,1)
po drodze korzystasz z twierdzeń o granicy ilorazu i granicy potęgi ale to są elementarne twierdzenia, które są w każdym podręczniku i w googlach. to są najprawdopodobniej zadania z liceum więc zdecydowanie nie powołuj się na d'Alamberta ani Stolza czy jakiegoś innego Ramanujana.
Czamber [ Czamberka ]
Zbieżność szeregu badamy korzystając z pewnych kryteriów.
kryterium d'Alemberta:
szukamy lim[n->oo] ((a(n+1)) / an) = r i wtedy:
jesli r<1 to szereg an jest zbiezny, jesli r>1 to rozbiezny, jesli r = 1 watpliwy.
kryterium Cauchyego:
szukamy lim[n->oo] z pierwiastka n-tego stopnia z wyrazu an, ten pierwiastek = p i jesli p<1 to szereg jest zbiezny, zas jesli p>1 to szereg rozbiezny oraz p=1 szereg watpliwy.
wiec ktos powinien chyba zastanowic sie, co pisze.. [ chciales policzyc granice a nie zbadac zbieznosc szeregu :/ ]
Czamber [ Czamberka ]
Dobra, zrobie to :>
1.) liczymy to z kryterium porownawczego [ nie jak napisalam wczesniej z d'Alemberta ]:
an = 2^n - 1 / 3^n + 1
an < (2/3)^n dla n naturalnych
poniewaz szereg (2/3)^n jest zbiezny jako szereg geometryczny o ilorazie q = 2/3 to z kryterium porownawczego mamy, ze takze nasz szereg o wyrazie ogolnym an jest zbiezny.
2.) liczymy to z kryterium d'Alemberta:
an = n! / (3n)!
a[n+1] = (n+1)! / (3n+3)!
lim[n->oo] (a[n+1] / an) =
= lim[n->oo] ( (n+1)! * (3n)! / ( (3n+3)! * n! ) =
= lim[n->oo] ( n! * n * (3n)! ) / (3n)! * (3n+1)(3n+2)(3n+3) * n! ) =
= lim[n->oo] ( n / (3n+1)(3n+2)(3n+3)) = 0
0 < 1 wiec z kryterium d'Alemberta mamy, ze szereg jest zbiezny.
3.) Robisz tak jak podalam w pierwszym moim poscie w tym watku. czulibierzesz pierwiastek n-tego stopnia z naszego wyrazu ogolnego, potega n skroci sie z pierwiastkiem n-tego stopnia i liczymy tylko granice z (3n + 1 / 5n + 1) przy n->oo ktora wynosi 3/5
3/5 < 1 wiec szereg jest zbiezny na podstawie kryterium Cauchyego.
Napisalam sie, ale teraz juz chyba wszystko jasne..
(:AllegromańkA:) [ Let's rock! ]
Czamber -----> DZIĘKI:*
Ratujesz moje studia:P [w piątek ostatnia poprawka koła, a ja nie mam pojęcia o szeregach - tzn teorie znam, ale za nic mi w zadaniach wyjść nie chce:/ ]
Czamber [ Czamberka ]
Nie ma za co :-)
Miło mi, że mogłam pomóc. Powodzenia na poprawce! :-)
gladkicom [ Pretorianin ]
bleeee Nienawidze matmy :(((
współczucia :P
Mobii [ Tuningowiec ]
mialem z tego egzamin 2 tygodnie temu na sesji :D ale juz nic nie pamietam, do niczego mi to nie bedzie potrzebne :D
hohner111 [ DragonHeart ]
Czytam to czytam i NIC NIE ROZUMIEM, matme mialem 3 lat at temu ostatnio...uff :|