--> Archiwum Forum
Evolver [ Centurion ]
Zadanie z matematyki
Przydałaby mi się pomoc z równań kwadratowych...
Mam takie trzy równania z parametrami i nie wiem jak do nich podejść :-/
Dla jakiego parametru m równanie:
1. m^2 x^3 + (m^2+6m)x^2 + (m+6)x=0 ma trzy różne pierwiastki
2. m x^4 - (2m+6)x^2 + 9 - m^2= 0 ma cztery różne pierwiastki
3. (1-m)x^4 - 4 (x^4)=m+2 ma cztery różne pierwiastki
To rzecz niezwykle pilna. Proszę o pomoc.
_Robo_ [ Generaďż˝ ]
Hint: wzory Viete'a, tw. Bezouta oraz ogolna metoda rozwiazywania rownan.
Evolver [ Centurion ]
Pliz, nieco dokładniej...
U_N [ -KOCHAM ANIE- ]
mialem z tego 1 to ci nie pomoge
anen [ Konsul ]
hmm
ja bym to rozpatrywał w kategoriach
1) za m podstawić np 1 a potem dalej 3 kolejnych liczb
gofer [ ]
wzory Viete'a
x1 + x2 = -b/a
x1 * x2 = c/a
i tyle...nie rozumiem tego, ale może Ci coś pomogę ;)
Evolver [ Centurion ]
Wzory Viete'a to mało. Przydałoby się żeby ktoś pokazał na tych przykładach zastosowanie tw. Bezouta.
Father Michael [ Padre ]
Robisz z tych wielomianow postac iloczynowa, a nastepnie w zaleznosci od m wychodzi Ci ile jest pierwiastkow. Jakos tak to sie robilo, o ile dobrze pamietam ;)
konioz [ Konsul ]
Rozwiazanie 1.:
Mozna zapisac to w postaci:
x(m^2x^2+(m^2+6m)x+(m+6))=0
na pewno jest juz jeden pierwiastek x1=0;
m nie moze byc rowne 0 bo wtedy tylko jedno rozw.
teraz w nawiasie mamy rownanie kwadratowe ktore musi miec dwa pierwiastki (rozne od 0 bo x1=0)
aby mialo 2 pierwiastki to "delta">0
"delta"=m^2(m^2+8m+12)
"delta">0 dla m=R\(-6;-2)
i rownanie (m^2x^2+(m^2+6m)+(6m))=0 nie moze miec rozwiazania rownego 0
a ma takie dla m=-6 (widac to po podstawieniu za x zera)
a wiec odp. rownanie ma trzy rozne rozw. dla m=R\<-6;-2)
Chyba dobrze?
Evolver [ Centurion ]
konioz --> wygląda dobrze :)
bardzo prosiłbym jeszcze o te dwa kolejne...
konioz [ Konsul ]
Czy na pewno tresc 2. i 3. jest dobra? ... bo wychodza mi kosmiczne liczby :)
Evolver [ Centurion ]
Rzecz w tym, że treść bankowo jest poprawna... Sam liczę i się gubię. Jutro klasówa.
konioz [ Konsul ]
Dobra chyba jednak O.K.
Rozwiazanie 2.:
Tutaj potrzebny jest inny sposob
za x^2 podstawiamy t i otrzymujemy rownanie kwadrat.:
mt^2-(2m+6)t+9-m^2=0
"delta"=4(m^3+m^2-3m+9)=4(m+3)(m^2-2m+3)
rownanie z t musi miec dwa rozw., wiec "delta">0
"delta">0 dla m>(-3)
nastepnie, aby rownanie 1.(to z x) mialo 4 rozwiazania
rozwiazania t musza byc wieksze od 0 (bo t=x^2 jak t>0 to otrzymujemy 2 rozw. x)
aby sprawdzic kiedy rozw t>0 stosujemy wzory viet'a
1) t1+t2>0 --> -b/a>0
2) t1*t2.0 --> c/a>0
wiec z rownania mamy:
1) (2m+6)/m>0 dla m>(-3)
2) (9-m^2)/m>0 dla m=(-niesk.;-3)+(0;3)
a wiec czesc wspolna z tych zbiorow to m=(0;3)
lacznie z pierwszym warunkiem "delta">0 (m>-3)
otrzymujemy odp. 4 rozwiazania dla m=(0;3)
Evolver [ Centurion ]
konioz - miałbym jeszcze jedno zadanko, już naprawdę osatatnie; chyba prostsze
Dla jakich wartości m układ:
(m+1)x + (m-1)y=m^2 + 1
(m-1)x + (m+1)y=m^2 - 1
ma rozwiązanie, które jest parą liczb o zgodnych znakach
Byłoby świetnie gdybyś mógł poświęcić temu jeszcze kika chwil...
konioz [ Konsul ]
O.K. ale to juz ostatnie...
Trzeba to zrobic z wyznacznikow:
dla ukladu:
‹a1x+b1y=c1
‹a2x+b2y=c2
W=a1*b2-a2*b1, Wx=c1*b2-c2*b1, Wy=a1*c2-a2*c1
i rozwiazania to x=Wx/W, y=Wy/W , gdy W,WxiWy=0 to nieskonczenie wiele par rozwiazan
obliczasz z ukladu z zadania i wychodzi:
W=4m
Wx=2m(m+1)
Wy=2m(m-1)
Odp. wychodzi, ze rozwiazania maja te same znaki dla m=(-niesk.;-1)+(1;niesk.)
Evolver [ Centurion ]
Dzięki wielkie. Pomogłeś mi niesamowicie!