--> Archiwum Forum
Mipari [ Senator ]
Matematyka - problem
Jak udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n spełniona jest nierówność? -->
Proszę o jakąś podpowiedź :)
jagged_alliahdnbedffds [ Rock'n'Roll ]
Z lewej strony zrób mnożenie i zostaw tam składniki z 'n', a resztę przenieś na prawą stronę. Dojdziesz w ten sposób do trywialnej nierówności.
Mipari [ Senator ]
Albo mam zaćmienie, albo ta nierówność wcale nie jest taka trywialna :) Żeby rozwiązać nierówność wykładniczą, to chyba trzeba mieć takie same podstawy.
Belert [ Legend ]
masakra .... :)
25x1/5<15
1/5do n<15/25
1/5do n<3/4
dla n=1,2,3.... spelniene
dla ulamkow tez a wiec :
CND
Mipari [ Senator ]
No właśnie widzę, że masakra :P Po pierwsze źle skróciłeś ułamek, a po drugie niczego nie dowiodłeś.
Teraz pomyślałem, że indukcją matematyczną będzie tutaj chyba najprościej
Grzesiek [ www eRepublik com PL ]
Belert zrobił "literówkę" - jasne jest, że powinno być 1/5do n < 3/5 :)
Dla n >= 1 zawsze to będzie prawda.
Dla n < 1 zawsze fałsz.
Jak udowodnić?
Albo zdrowy rozsądek -> jeśli 1/5^1 < 3/5 to z każdym n+=1 lewa strona będzie maleć.
Oczywiście indukcja matematyczna tutaj będzie twardym argumentem :)
Mipari [ Senator ]
Faktycznie banał a nie widziałem tego :) Dzięki wielkie
xkxtx [ Dark Man X ]
jezeli n>=0 to masz dla n=1: 5^1=5 a dla wyzszych n masz potęgę z minusem czyli (1/5)^n
a jak chcesz zrobic to niejako bo bożemu z majcy to masz--->
szpenio [ Konsul ]
Wszyscy robicie źle.
Prawidłowo jest tak, że wykładnik n stoi tylko przy 5 w mianowniku.
1/5^n<lub = 3/5 Wynika to z tego, że
5^(2-n) = 5^2/5^n jeżeli dzielimy obie strony nierówności przez 5^2, to
w liczniku zostaje 1, a mianowniku 5^n
A teraz wniosek: im bardziej zwiększamy n (dodatnie) tym bardziej zwiększamy mianownik, a tym samym 1 dzielone przez bardzo duży mianownik, daje bardzo małą liczbę.
KROPKA!
jagged_alliahdnbedffds [ Rock'n'Roll ]
Prawidłowo jest tak, że wykładnik n stoi tylko przy 5 w mianowniku.
Strasznie zagmatwałeś. Z resztą ja napisałem dokładnie to samo, tylko Ty chyba opuściłeś zajęcia, podczas których pani w podstawówce tłumaczyła co i jak. Dokształćmy się razem :)
Zacznijmy więc - w tym wypadku nie ma to żadnej różnicy czy podniesiemy cały ułamek do 'n', czy tylko mianownik, bo przecież w liczniku jest jedynka.
Twoje, jakże czytelnie napisane:
1/5^n<lub = 3/5 Wynika to z tego, że
5^2-n = 5^2/5^n jeżeli dzielimy obie strony nierówności przez 5^2, to
w liczniku zostaje 1, a mianowniku 5^n
Równa się dokładnie temu samemu co ja napisałem w drugim poście:
(1/5)^n <= 3/5, n>0
Więc Wszyscy robicie źle. wsadź sobie w swój matematyczny tyłek ;)
jagged_alliahdnbedffds [ Rock'n'Roll ]
Albo mam zaćmienie, albo ta nierówność wcale nie jest taka trywialna :) Żeby rozwiązać nierówność wykładniczą, to chyba trzeba mieć takie same podstawy.
Indukcją najłatwiej:
Z: (1/5)^n <= 3/5
T: (1/5)^(n+1) <= 3/5
D: (1/5)^(n+1) = (1/5)^n * (1/5) <= (3/5) * (1/5) = (3/25) <= (3/5)
Belert [ Legend ]
fakt zle skrocilem ale sprobuj lepiej skrocic piszac w ten sposob.A dlugopisu i kartki nie mam kolo kompa :(
Wormsek [ Konsul ]
Eh ludzie ludzie.
Z tych rozwiązań jedynie jagged_alliahdnbedffds podał prawidłowe. Wszyscy zaczęliście podawać rozwiązanie.
W matematyce nie ma oczywistych nierówności, chyba, że macie aksjomat. Dlatego nawet taką prostą nierówność jak 1/5^n <= 3/5 trzeba dowieść. A że jest to potęgowanie, to najprostszym sposobem dowodzenia jest indukcja.
Wasze skracanie, etc po prostu jest to sprowadzenie do prostszej postaci dla dowodu, a nie sam dowód.
DEXiu [ Senator ]
Wormsek ==> To tylko wątek, w którym ktoś prosi o pomoc - nie trzeba podawać pełnego rozwiązania na talerzu, czyż nie? Poza tym pewne oczywiste rzeczy (choć ta "oczywistość" jest względna) można pominąć, albo tylko skrótowo opisać. Dowód poprzez stwierdzenie, że (1/5)^1 < 3/5 a następnie stwierdzenie, że funkcja (1/5)^n jest malejąca dla n>=1 jest wystarczający i równie dobry jak zabawa z indukcją.